Che alguien me tira una soga para el teorema de la página 23 de los apuntes de Gabriel Larotonda?
Es:
$$\text{Teorema 2.13. Sea}\f:A\subset \mathhbb{R}^{2}\rightarrow\mathhbb{R}\ \text{con A abierto, y sea}\ P\in{A}.\\ \text{Si las dos derivadas parciales de f existen en un entorno de P, y ambas son continuas alli, entonces f es diferenciable en P.}$$
O sea, entendí la mayor parte de la demo, pero hay un momento que dibuja un par de cosas y no se de donde las saca.
Gracias...
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
Sean \(P=(a,b)\) y \(X=(a+h,b+k)\) dpnde \(h,k\) denotan los incrementos en \(x\) e \(y\) respectivamente, y \(X-P=(h,k)\)
Dada \(f:\mathhbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}\), observemos que si las dos derivadas parciales de \(f\) existen en todas partes, entonces por el teorema de Lagrange en una variable, existen \(c\) entre \(a\) y \(a+h\) y \(d\) entre \(b\) y \(b+k\) tales que:
No entiendo bien de donde saca estas derivadas parciales. Osea, entiendo que aplica Lagrange variable por variable. Particularmente lo que no entiendo es de donde salio la que es con respecto a \(y\). Porque viendo en donde esta evaluada esta derivada parcial, pareceria que le aplicó Lagrange a una de las cosas que sumo y restó. Pero entonces que onda el resto?
Sigo con la misma duda de antes. Entiendo que aca resto a ambos lados de la igualdad el poducto interno. Y de aquí en más entiendo, pero sin saber bien de donde salió la derivada parcial antes mencionada.
bueno te contesto tu duda numero 1)
\($ sea $ f(a+h,b+k) - f(a,b) = f(a+h,b+k) - f(a,b+k) + f(a,b+k) - f(a,b) $ entonces defino $ g(x) = f(x,b+k) $ fijate que $ g(x) $ es una funcion de una variable. luego si existe $ \frac{ \partial f}{\partial x} $ entonces $ g $ es derivable. ahora uso el teorema de lagrange en una varibale para $ g $ en $[a,a+h]$. entonces $ g(a+h) - g(a) = g'(c) h $ con $ c $ entre $ a $ y $a+h$. luego por como esta definida $ g(x)$ se tiene la siguiente igualdad: $ f(a+h,b+k) - f(a,b+k) = \frac{ \partial f}{\partial x} (c,b+k) h $. y ahora nota que si $ h $ tiende a cero entonces $ c $ tiende a $a$. con el mismo razonamiento sale la otra derivada parcial respecto de y.\)
bueno te contesto tu duda numero 1)
\($ sea $ f(a+h,b+k) - f(a,b) = f(a+h,b+k) - f(a,b+k) + f(a,b+k) - f(a,b) $ entonces defino $ g(x) = f(x,b+k) $ fijate que $ g(x) $ es una funcion de una variable. luego si existe $ \frac{ \partial f}{\partial x} $ entonces $ g $ es derivable. ahora uso el teorema de lagrange en una varibale para $ g $ en $[a,a+h]$. entonces $ g(a+h) - g(a) = g'(c) h $ con $ c $ entre $ a $ y $a+h$. luego por como esta definida $ g(x)$ se tiene la siguiente igualdad: $ f(a+h,b+k) - f(a,b+k) = \frac{ \partial f}{\partial x} (c,b+k) h $. y ahora nota que si $ h $ tiende a cero entonces $ c $ tiende a $a$. con el mismo razonamiento sale la otra derivada parcial respecto de y.\)
Uh buenisimo. Entonces sería:
$$H(y)=f(a,y)$$
y aplico Lagrange en el intervalo \([b,b+k]\)
obteniendo:
\(H(b+k)-H(b)=H'(d)k\) con \(d\) entre \(b\) y \(b+k\)
