el 1) ya esta en otro post ([No resuelto] Final 24/02/2009) igual te dejo aca lo que escribi en el otro. y en el dos no entiendo bien lo que escribiste.
a) queremos ver que \(f'(x) \neq 0 \Rightarrow f(x)\) inyectiva. Entonces \(f'(x) \neq 0 \forall x \epsilon [a,b]\). Dados \({x}_{o} , {y}_{o} \epsilon [a,b]\) y supongamos que f no es inyectiva \(\Rightarrow {x}_{o} > {y}_{o} / f({x}_{o})= f({y}_{o})\) . luego por el teorema de lagrange \(\frac{f({x}_{o}) - f({y}_{o}) }{ {x}_{o} - {y}_{o}} = f'(c)\) con \({y}_{o} < c < {x}_{o}\) pero entonces \(f({x}_{o}) - f({y}_{o}) = 0 \Rightarrow 0 = f'(c) ({x}_{o} - {y}_{o})\) pero \(f'(c) \neq 0\) por hipotesis y \({x}_{o} - {y}_{o} > 0\) \(\Rightarrow\) absurdo \(\Rightarrow f(x)\) inyectiva
b)\(f\) inyectiva \(\Rightarrow f\) estrictamente decreciente o estrictamente creciente. razonemos por el absurdo. negar lo anterior es decir si \(f\) inyectiva \(\Rightarrow f\) monotona (tambien esta la opcion que f no sea monotona pero como f es continua sino es monotona ni estrictamente creciente o decreciente alcanza un maximo o un minimo en el interior de algun compacto, por ende en un disco alrededor del max o min f no seria inyectiva. por esta razon paso por alto este ultimo caso. igualmente la demostracion hecha en el punto c sirve para respaldar lo recien dicho.). se entiende por monotona constante \(f(x) = f(y) \forall y < x\) monotona creciente \(f(y) \leq f(x) \forall y < x\) y monotona decreciente \(f(x) \leq f(y) \forall y < x\). supongamos monotona creciente, las otras dos son analogas. si \(f\) inyectiva entonces \(f(x) = f(y) \Rightarrow x = y\) pero si es monotona creciente entonces \(f(y) \leq f(x) \forall y < x\) pero si vale el igual entonces absurdo porque se contradice con que f sea inyectiva, etnonces f esctrictamente creciente. suponiendo que f es monotona decreciente se llega a la conclusion que f es esctrictamente decreciente y suponiendo que f es monotona constante se llega a la conclusion que f es o estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
c) \(f\) continua en \([a,b]\) por ser \(f\) derivable. \(\Rightarrow f\) alcanza en particular un minimo en el compacto por el teorema de weistrass. Si el minimo no se alcanza en los bordes, luego por el teorema de fermat si llamamos \(c\) al punto donde \(f\) alcanza el minimo valor \(\Rightarrow f'(c) = 0\). Falta ver que \(c\epsilon(a,b)\). Dado \(0 < \varepsilon = - f'(a)\) \(\exists\) \(0 < \delta / 0 < \vert x - a \vert < \delta \Rightarrow \vert \frac{f(x) - f(a)}{x - a} - f'(a) \vert < \varepsilon = - f'(a)\) entonces desarollando el ultimo modulo se tiene que \((- \varepsilon + f'(a))(x - a) < f(x) - f(a) < (\varepsilon + f'(a))(x - a) = 0\) \(\Rightarrow f(x) < f(a)\) cuando \(a<x\) entonces se concluye que \(c > a\) de forma analoga se hace con \(c < b\)
igual mi punto b) no me termina de convencer la demostracion, habria que mejorarla o hacerla de vuelta, me parece que mande un poco de fruta xD
una aclaracion mas, te dice que la derivada no es necesariamente continua para que no uses el teorema de bolzano (teorema del valor medio) o el de bolzano-weirstrass con la derivada.
te cuento la idea del 2) tenes que hacer un desarrollo de taylor de orden 1 para la funcion. luego el resto es siempre cero pues el hessiano es cero. luego la f es igual a su diferencial y como el diferencial de cualquier funcion c1 es una funcion lineal entonces la f es lineal.
te dejo la del 4) tambien. sea \(\int_{S} (f)\) la integral superior sobre f y sea \(\int_{I} (f)\) la integral inferior sobre f. vos sabes que \(I(f,P)\leq \int_{I} (f) \leq \int_{S} (f) \leq S(f,P)\) entonces \(\int_{S} (f) - \int_{I} (f) \leq S(f,P)-I(f,P) < \varepsilon\) y eso vale para todo epsilon mayor que cero. entonces vale que \(\int_{S} (f) \leq \int_{I} (f)\). y como la otra desigualdad vale siempre se concluye que f es integrable.
Yo al punto 1.B) y C) lo razoné distinto, supongo que está bien. Lo que dije fue lo siguiente
1c) Se que \(f'(a)<0\) entonces
\(\lim_{h \rightarrow \{{0}^{+}}\)\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h} < 0\)
es decir,\(f(a)\) no es un mínimo. De la misma manera pero con el lím por derecha razono para \(f(b)\) y como \(f\) es continua en un compacto, alcanza máx y mín, que no está (el mínimo) ni en \(a\) ni en\(b\) entonces lo alcanza en un \(c\in (a,b)\) entonces por fermat alli la derivada se anula
el 1b) lo que razoné fue: si existen dos puntos \(c,d\in[a,b]\) tales que \(f(c)=f(d)\) entonces por rolle \(\exists t\in(c,d)/ f'(t)=0\) pero esto es equivalente a decir que \(f\) no es inyectiva \(Abs!\) \(\Rightarrow f\) es estrictamente creciente o decreciente
la idea del 1)b) esta muy buena, pero te faltaria justificar un poco mas porque no es obvio que si la derivada se anula en un punto entre c y d y f(c)=f(d), entonces f es inyectiva.