Sean \(f,g,h : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) continuas tales que \(f(x,y) \leq g(x,y) \leq h(x,y) \;\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2\). Si \(f\) y \(h\) son diferenciables en \((x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2\), probar que \(g\) es diferenciable en \((x_0, y_0)\).
Sea \(f : [0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) continua. Probar que \(f\) es uniformemente continua.
Enunciar y probar el criterio del Hessiano para una funcion de dos variables.
che el 4) sale usando el cambio de variable con polares y despues la regla de l'hopital y fubini?
Yo al principio pensé lo mismo, y da el mismo resultado, pero le pregunté a Amster y no estaba muy convencido (tampoco lo pensó tanto). Yo lo hice con valor medio, pero me quedó la duda si se podrá hacer de la otra forma.
jajaja bueno pero no lo pensé mucho fue lo primero que se me ocurrio tal vez con el teorema del valor medio queda mejor. mi idea era aplicar la regla de l'hopital. como el dominio de f es compacto y f es continua entonces su imagen en dicho dominio tambien va a ser compacto. entonces la integral esta bien definida en ese dominio. si hacemos tender el radio de la bola a cero entonces la integral va a tender a cero por lo dicho antes. se justifica con las sumas de riman. una vez dicho esto queremos ver si el limite de \(g(r)\) cuando r tiende a cero converge a un numerito real. la cosa es que nos queda un \(\frac{0}{0}\) ahi es cuando yo queria hacer el cambio de variable a polares para que nos aparezca un r como el jacobiano y justificando con fubini cuando derivamos respecto de r lo unico que tenemos que hacer es borrar \(\int_{0}^{r}\) y nos queda una integral que solo depende de \(\theta\) entonces podemos sacar el r que nos quedo del jacobiano y matar al r que nos queda dividiendo cuando aplicamos l'hopital. no se si esta muy coherente me parece medio fulera la idea pero que se yo 😆
dejo la del 4) para el que le interese.
como f es continua y el dominio es arco-conexo entonces se tiene por el teorema del valor medio integral que si \(M=max(f)\) y \(m=min(f)\) en \({B}_{r}(0,0)\) \(\Rightarrow\) \(m \mu({B}_{r}(0,0)) \leq \int \int {}_{{B}_{r}(0,0)} f(x,y) dx dy \leq M \mu({B}_{r}(0,0))\) ademas \(\mu({B}_{r}(0,0)) = \pi r^2\). tambien existe \(Xo \in {B}_{r}(0,0) / f(Xo) \pi r^2 = \int \int {}_{{B}_{r}(0,0)} f(x,y) dx dy\) luego si dividimos por \(r^2 \Rightarrow f(Xo) \pi= \frac{1}{r^2} \int \int {}_{{B}_{r}(0,0)} f(x,y) dx dy\) en conclusion si \(r\rightarrow 0 \Rightarrow f(Xo) \rightarrow f(0,0)\) entonces \(\lim_{r \rightarrow 0} \frac{1}{r^2} \int \int {}_{{B}_{r}(0,0)} f(x,y) dx dy\)\(= \lim_{r \rightarrow 0} f(Xo) \pi = f(0,0)\pi\) luego \(a= f(0,0) \pi\)
ahora que lo estuve pensando si aplicamos el teorema del valor medio integral en una variable en la primer idea qe tiré se llega al mismo resultado, la unica diferencia es que hay que demostrar un par mas de cosas para que quede todo bien justificado.
