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Hola, queria saber si alguno me da una idea de como resolver el siguiente ejercio:
Sea \(f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}\) una funcion de clase \(C^1\) tal que \(\nabla f(x,y) \cdot (x,y) > 0\) si \(\parallel (x,y) \parallel \geq R > 0\). Probar que \(f(x,y)\) tiene un minimo global en \(\mathbb{R}^2\)
saudos.
te dejo la idea que buscas el primer dato dice que \(\nabla f(x,y) \cdot (x,y) > 0\) si \(\parallel (x,y) \parallel \geq R > 0\)el segundo dato dice que la f es \(C^1\) entonces es diferenciable en todos lados y ademas existen las derivadas direccionales en la direccion de cualquier vector de norma unitaria. la cosa es que te estan diciendo que la derivada direccional en la direccion \((x,y)\) es siempre positiva. luego si nos movemos en el dominio hacia afuera por rectas que pasan por el origen la f crece fuera de la bola de radio \(R\) es decir cada punto fuera de esa bola es mayor que algun otro en el borde de la bola. entonces si consideramos el compacto \(S=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 / ||(x,y)|| \leq R\}\) la f alcanza un minimo en dicho compacto por el teorema de bolzano werirstrass porque la f es continua y como todos los puntos fuera del compacto son mayores entonces el minimo resulta ser global.
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aca te dejo una imagen para que lo veas mejor. notá que \(f(P) < f(Q)\) y fijate como lo probas sabiendo que si te moves por el segmento desde \(P\) hasta \(Q\) la f es monotona creciente pues su derivada es siempre positiva
mira este post \(\Longleftrightarrow\) todavia no sabes como probarlo usa el teorema de lagrange en varias variables parametrizando el segmento que une \(P\) con \(Q\) y usando que \(Q = \lambda P\) con \(\lambda >1\)
Claro, yo habia pensado en eso, el tema es que aplicando lagrange a f en la parametrizacion del segmento, me termina quedando \(<\nabla f (cP), P>\). Lo que no termino de ver, aunque lo entiendo intuitivamente, cual es la forma correcta formal para justificar que ese producto interno es mayor a 0, siendo que lo que me dicen es que \(<\nabla f (P), P> > 0\). Osea que es lo habria que poner en un final para que quede bien.
Gracias por las respuestas
bueno aca te dejo como se justificaria en un final
sea \(\alpha(t)= P+ t(Q-P)\) donde \(\alpha(0)= P, \alpha(1)= Q\) y ademas se sabe que \(||P||=R , Q=\lambda P\) con \(\lambda > 1\) queremos ver que \(f(P) < f(Q)\). luego como f es \(C^1\) entonces se tiene por el teorema de lagrange que \(f(Q) - f(P) = \bigtriangledown f(S) (Q-P)\) con \(S\) un punto intermedio en el segmento entre \(P\) y \(Q\). sea \(S=\alpha(c)= P + c(Q-P)\) con \(0< c <1\). entonces \(S=P + c(Q-P)= P + c( \lambda P- P)= (c(\lambda-1) + 1) P\) ahora quiero probar que \(S\) esta fuera de la bola entonces \(|| S||= || (c(\lambda-1) + 1) P|| = |(c(\lambda-1) + 1)|\) \(||P|| > R\) pues \(c > 0, \lambda > 1\) recapitulando \(f(Q) - f (P) = \bigtriangledown f(S) (Q-P) = \bigtriangledown f((c(\lambda-1) + 1)P) ( \lambda -1) P\)\(= \bigtriangledown f((c(\lambda-1) + 1)P) \frac{(c(\lambda-1) + 1)P}{(c(\lambda-1) + 1)} ( \lambda -1)\) y ahora con el dato que nos dieron sabemos que \(\bigtriangledown f((c(\lambda-1) + 1)P) (c(\lambda-1) + 1)P > 0\) entonces como \(\lambda -1 > 0\) y \(c(\lambda-1) + 1 > 0\) luego \(\frac{\lambda -1}{c(\lambda-1) + 1 } > 0\) \(\Rightarrow f(Q) - f(P) > 0 \Rightarrow f(Q)> f(P)\). \(\Box\)