\(1)\) Sea \(f(x,y) = ( xy, \ln (xy^2))\) y sea \(R \subset \lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 / x > 0, y>0 \rbrace , R\) región elemental. Probar que el area de \(f(R)\) es igual al area de \(R\)
\(2)\) Sean \(f, g : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) y sea \(P \in \mathbb{R}^2\) tal que \(\nabla f(P) \neq (0, 0)\) y \(g(P) = 0\). Entonces, si \(P\) es un extremo local de \(f\) sujeto a la restriccion \(g = 0\), se tiene que \(\nabla f(P) = \lambda \nabla g(P)\) para algún \(\lambda \in \mathbb{R}.\)
\(3)\) Sea \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) de clase \(C^2\) en una bola \(B\) alrededor de un punto \(P\). Demostrar que entonces \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(P) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(P)\)
\(4)\) Sea \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) continua. Probar que existe un punto perteneciente al gráfico de \(f\) tal que su distancia al origen sea mínima.
EDIT: las ediciones fueron porque fui arreglando el enunciado a medida que me lo iba a acordando y dejándolo un poco mas claro.
dejo las ideas que se me ocurrieron a mi hoy en el final.
en el primero hay que darse cuenta que como f es inyectiva y su determinante es no nulo entonces se puede aplicar el teorema de cambio de variable y el de la funcion inversa. ademas \(Jf^{-1}=\frac{1}{Jf}\) y \(Jf(p)=1\) para todo \(p\)
2)hay que usar el teorema de la funcion implicita y probar que la normal del plano tangente a la superficie de nivel es perpendicular al conjunto de vectores generadores del plano tangente. por el teorema de la funcion implicita se tiene que el gradiente de la funcion con la ligadura es paralelo al vector normal del plano tangente.
bueno este punto es probar que las derivadas cruzadas son iguales si la funcion es \(C^2\) yo hice la misma demostracion que la que esta en los apuntes de larotonda.
4)aca hay que tomar una bola sobre \(x=0\) centrada en el \((0,0)\) y de radio \(f(0)\) luego por el teorema de bolzano weistrass la funcion que mida la distancia de los puntos del grafico de \(f(x)\) al origen alcanza un maximo y un minimo, y en particular el minimo es absoluto.
Lease: F es el conjunto de todas las distancias del gráfico de F a un punto.
Quiero ver que F posee un mínimo.
Como \(0\leq\|x,y\|\forall x,y\in\mathbb{R}\) y \(\|\cdot\|\) es una norma. Entonces 0 es cota inferior de F. Como \(F\subset\mathbb{R}\) entonces F posee un ínfimo. Ahora quiero ver que ese ínfimo (desde ahora I) es un mínimo.
Por definición de ínfimo, existe una sucesión \(\beta_n=\left( \alpha_n,f(\alpha_n)\right) \subset F\) tal que
\(\beta_n \to (i_1,i_2)\), o sea
$$\alpha_n \to i_1$$
$$f(\alpha_n) \to i_2 \in \mathbb{R}$$
Quiero ve que \(I \in F\)
Como f es continua, \(f(\alpha_n)\to f(i_1):=i_2\). la dupla \(\|\left(i_1,f(i_1)\right)\| \in F\) pués \(i_1\in\) dom \(f\) y \(f(i_1)\in Im(f)\)
entonces \(inf(F)=(i_1,f(i_1))\) pertence al gráfico de \(f\), luego es un mínimo de \(F\).
No se si se termina de entender la idea.
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La idea es esa mas o menos, faltan ajustar detalles importantes, cuando decis "por definicion de infimo..." no esta bien lo que decis.
Lo que podes decir es que existe \(s_n\in F\) tal que \(s_n\rightarrow I\).
como ven esta solucion alternativa para el 4)????? 😄
sea \(h(x)= x^2 + f^2(x)\) (es la norma al cuadrado de los puntos pertenecientes al grafico de \(f\)). si tomamos un compacto \([-a,a]\) con \(a>0\) por el teorema de bolzano weirstrass la h alcanza un minimo. quiero ver que existe un minimo que es global. mi idea es probarlo por el absurdo. si no existiese un minimo global entonces si tomo un compacto mas grande que contenga al primero la h alcanzaria un minimo menor y dicho minimo no perteneceria al primer compacto. eso lo podria hacer reiteradas veces y a medida que tomo un compacto mas grande el minimo seguiria disminuyendo y no estaria incluido en ninguno de los compactos anteriores. esta es en la idea en que me voy a basar. tomo un compacto mas grande. sea \(b>a>0\) por ahora solo pido esa condicion. entonces \(h({x}_{o})>h({x}_{1})\) con \({x}_{o} \in [-a,a], {x}_{1} \in [-b,b], {x}_{1}\notin [-a,a]\) donde \(h({x}_{o})\) es el minimo en el primer compacto y \(h({x}_{1})\) es el minimo en el segundo compacto. es decir, \(|{x}_{o}| \leq a <|{x}_{1}|\). luego \(|{x}_{o}|< |{x}_{1}|\) por lo antes dicho. \(\Rightarrow {x}_{o}^2 + f^2({x}_{o})> {x}_{1}^2 + f^2({x}_{1})\) \(\Rightarrow f^2({x}_{o})> {x}_{1}^2 - {x}_{o}^2 + f^2({x}_{1})\) como \({x}_{1}^2 - {x}_{o}^2 > 0 \Rightarrow f^2({x}_{o})>f^2({x}_{1})\) supongamos que \(f^2({x}_{o}) = \lambda\) con \(\lambda\) un numerito real mayor que cero. le impongo otra condicion ahora al \(b\) arbitrario que tome al principio. elijo \(b\) lo suficientemente grande para que \(b^2-a^2 > \lambda\). si tomo algun numero \(c\) tal que \(c>b>0\) y considero el compacto \([-c,c]\) entonces la h alcanza un minimo menor que \(h({x}_{1})\) y que no esta contenido en el compacto \([-b,b]\). llamemos \(h({x}_{2})\) al minimo en \([-c,c]\). por lo dicho antes \(|{x}_{2}| > b\). luego \({x}_{2}^2 - {x}_{o}^2 > b^2 - a^2 > \lambda\). ademas \(f^2({x}_{2}) < f^2({x}_{o})\) juntando todo queda \({x}_{o}^2 + f^2({x}_{o})> {x}_{2}^2 + f^2({x}_{2}) \Rightarrow\)\(f^2({x}_{o})> {x}_{2}^2 - {x}_{o}^2 + f^2({x}_{2}) \Rightarrow\)\(\lambda > f^2({x}_{2}) + \lambda \Rightarrow f^2({x}_{2}) < 0\) absurdo! entonces existe un minimo grobal. \(\Box\)
no se porque se me dio de volver a leer este post pero me di cuenta que la resolución de erizo del ejercicio 4 está mal porque él dice que \({\alpha}_{n}\) converge cuando eso no es necesariamente cierto. es más es muy probable que no pase. lo que se sabe es que \(g({\alpha}_{n})\) converge. Donde \(g({\alpha}_{n})= \sqrt{{\alpha}_{n}^2 + f^2({\alpha}_{n})}\) y acá se ve claro que \({\alpha}_{n}\) no tiene por qué converger. Además hay incoherencias en la notación pues los elementos de \(F\) son números en \(\mathbb{R}\) mientras que después se dice que \({\beta}_{n} \subseteq F\) y \({\beta}_{n}\) son cosas de \(\mathbb{R}^2\)
dejó una idea parecida pero que creo que está bien... de todas formas todas las críticas son bienvenidas...
bueno entonces, Sea \(A=\lbrace y \in {\mathbb{R}}_{\geq 0}: y= ||(x,f(x))||\) con \(x \in \mathbb{R}\rbrace\). Es obvio que \(A\) es no vacío y que si \(y\in A \Rightarrow y \geq 0 \Rightarrow 0\) es cota inferior de \(A \Rightarrow A\) posee ínfimo. Sea \(i = inf A\), quiero ver que \(i \in A\). Por propiedad de ínfimo existe \(\lbrace {y}_{n} \rbrace \subseteq A\) tal que \(\lim_{n} \:{y}_{n} = i\). Como \(\lbrace {y}_{n} \rbrace \subseteq A \Rightarrow \exists \: \lbrace {x}_{n} \rbrace \subseteq \mathbb{R}\) tal que \({y}_{n} =\sqrt{{x}_{n}^2 + f^2({x}_{n})}\). Como \({y}_{n}\) converge entonces es acotada (la demostración se la dejo para el que tenga ganas de hacerla. De todas formas no es muy difícil de probarlo). Luego existe \(M > 0\) tal que \(|{y}_{n}| \leq M \: \forall \:n\) de lo que sigue que \(\sqrt{{x}_{n}^2 + f^2({x}_{n})} \leq M\) Como \(0\leq\sqrt{{x}_{n}^2 + f^2({x}_{n})}\) y \(M>0\) vale que \({x}_{n}^2 + f^2({x}_{n}) \leq M^2 \Rightarrow {x}_{n}^2\leq M^2 - f^2({x}_{n})\) y como \(f^2({x}_{n}) \geq 0\) se sigue que \({x}_{n}^2\leq M^2 \Rightarrow |{x}_{n}| \leq M \Rightarrow \lbrace {x}_{n} \rbrace\) está acotada. Y entonces se puede extraer una subsucesión convergente. Existe entonces \({x}_{{n}_{k}}\) tal que \(\lim_{k} \: {x}_{{n}_{k}} = {x}_{0}\) Como \(f\) es continua vale que \(\lim_{k} \: f({x}_{{n}_{k}}) = f({x}_{0})\) En conclusión \(i = \lim_{n} \: {y}_{n} = \lim_{k} \:{y}_{{n}_{k}} = \lim_{k} \: \sqrt{{x}_{{n}_{k}}^2 + f^2({x}_{{n}_{k}})} = \sqrt{{x}_{0}^2 + f^2({x}_{0})}\) Y entonces \(i = \sqrt{{x}_{0}^2 + f^2({x}_{0})}\) como \({x}_{0} \in \mathbb{R} \Rightarrow i\in A \Rightarrow i\) es el mínimo de \(A\)
