FINAL 24/11/2009

1. \(Si\) \(f:R^2\longrightarrow R\) \(es\) \(C^1, probar\) \(que\) \(f\) \(es\) \(diferenciable.\)

2. \(Sea\) \(f:R^2\longrightarrow R,\) \(tal\) \(que\) \(f(tx)=tf(x),\) \(\forall x\in\) \(R^2\) \(y\) \(\forall t\in\) \(R.\) \(Probar\) \(que\) \(f\) \(es\) \(lineal.\)

3. Demostrar el teorema de multiplicadores de Lagrange para \(f:R^3\longrightarrow R,\)

4. \(Sea\) \(f>0.\) \(Consideremos\) \(el\) \(solido\) \(de\) \(revolucion\) \(que\) \(se\) \(obtiene\) \(al\) \(girar\) \(la\) \(funcion\) \(z=f(x)\) \(al\) \(rededor\) \(del\) \(eje\) \(x.\) \(Osea,\) \(la\) \(superficie:\)

\(W=\{(x,y,z)\in\)\(R^3\)\(: a\le x\le b, 0\le\sqrt{\mathstrut z^2+y^2}\le f(x)\}\) \(Probar\) \(que\) \(el\) \(volumen\) \(de\) \(W\) \(es:\) El 2) me desconcerto, alguien sabe como sale?

Yo no rendí, pero mis amigos me dijeron que en el enunciado decía que la función era \(C^1\), puede ser?

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$$\bigstar Sofi \bigstar$$

Sofía escribió:

Yo no rendí, pero mis amigos me dijeron que en el enunciado decía que la función era \(C^1\), puede ser?

Si, decía que era \(C^1\)...

A alguien se le ocurre cómo probarlo? O al menos, cómo encararlo. Mi imaginación no daba para tanto 🙄

No basta con probar que la derivada es constante?

Maxtwo escribió:

No basta con probar que la derivada es constante?

Ok... cómo? Para mí no es tan inmediato...

Cierto. Decia que \(f\) era \(C^1\)
Segun lo que dijo la profesora de la mesa, habia q probar que:

acá va una idea, espero que esté bien
Fijamos \(t\) y definimos \(g_t(x)=f(tx)=t(f(x))\)
Es claro que como \(f\) es \(C^1\) \(g_t\) también lo es. Derivando y usando cadena obtengo
\(\nabla g_t(x)= t(\nabla f(tx))=t(\nabla (f(x))\) Entonces para cualquier número real \(t\) distinto de cero tenemos la siguiente igualdad que vale para todo \(x \in R^2\): \(\nabla f(tx)=\nabla (f(x)\)
Si lo miramos atentamente, esto nos dice que si miramos el gradiente a lo largo de cualquier recta por el origen en \(R^2\) el gradiente es constante, salvo tal vez en el origen mismo. Pero como sabemos que la función es \(C^1\) el gradiente debe ser una función continua, o sea el gradiente en el origen vale lo mismo que el gradiente en cualquier recta por el origen, esto implica que el gradiente es constante en todo \(R^2\)
Ahora ya casi está, por el teorema del valor medio de Lagrange, para todo \(x \in R^2\) se tiene que
\((f(x)-f(0))=< \nabla f(c) . (x-0)>\)donde \(c\) es un punto en el segmento que une \(0\) y \(x\), igual no nos importa demasiado ya que es constante en todo \(R^2\) digamos
\(\nabla f(x)=(a,b)\) para todo \(x \in R^2\)
Además poniendo \(t=0\) en la ecuación de arriba nos queda que \(f(0)=0\) y entonces si \(x=(x_1,x_2)\) nos queda que \(f(x_1,x_2)=ax_1+bx_2\), y es una función lineal como queríamos

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Daniel

Yo ocnocía esto para F definida en R que solo requiere continuidad. No se me ocurre como extender esta idea a más dimensiones, pero quizás a alguien le sirva

Qvq \(F(x+y)=F(x) + F(y)\)
Seguro existe \(t\in \matbhh{R}\) tal que \(y=t.x\)

Quiero ver que \(F(0)=0\)
Sea \(x_n\) una sucesión arbitraria que converge a \(0\)
como \(F\) es continua,\(F(x_n)\) converge a \(F(0)\)
Pero \(F(x_n)=F(1.x_n)=x_n .F(1) \to 0\)

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¿Alguno sabe como se hace el 4? Intente con coordenadas polares, pero no me salió.

Pensalo onda cilindricas en R3 pero en vez de \(r=sqrt(x^2+y^2)\) hacelo con lo que tenes entre 0 y f(x). z pasa a hacer x y armate la diferencial, fijate que el jacobiaco sigue siendo r y ahi queda facil( que es biyectiva para mi no haria falta porque es casi lo mismo que lo de cilindricas solo que dando vuelta los ejes )