Hola, tengo varias cuestiones que me quedaron dando vueltas para el final, sobre todo relacionadas con sucesiones y cjtos.
Si A es acotada superiormente con s = Sup. (A), EXISTE una sucesión monótona creciente de elementos de A que converge a s.
De esto la demostración no la tengo, no sé si porque llegué tarde y no la copié o porque no la dieron (cosa que dudo), pero la cosa es que no la tengo, que alguien me la pase plis.
Toda sucesión acotada tiene una sub-sucesión convergente.
De este teorema la demostración la tengo, pero hay varias cosas que no entiendo: dónde uso que mi sucesión es acotada, y cómo concluyo que si mi sub-sucesión es monótoma y acotada, entonces es convergente
Si {An} es una sucesión contenida dentro de A, y A es un cjto. acotado, ¿de eso puedo concluir que {An} es acotada? ¿Cuál es la demostración?
nose que demostracion tenes de ese teorema pero puedo responder una de tus preguntas
si tenes una sucesion monotona y acotada entonces es convergente
si es acotada entonces existen b y c \(\in \mathbb{R}\)tal que \(b \leq a_n \leq c\) \(\forall n \in \mathbb{N}\)
consideras el conjunto \(A={a_n con n \in \mathbb{N}}\)como\({a_n}\) es acotada entonces tiene supremo, llamemoslo \(s\).
por propiedades de supremo sabes que \(\forall \epsilon \exists a_{n_o}\) talque\(s- \epsilon <a_{n_o} \leq s\)
(supongamos a la sucesion creciente)
luego, \(\forall n\geq n_o\) \(a_{n_o} \leq a_n\) por lo tanto \(\forall n\geq n_o s- \epsilon <a_{n_o} \leq a_n \leq s < s + \epsilon\)
entonces \(|a_n - s|< \epsilon\) luego \(a_n\) converge a \(s\)
si es decreciente haces lo mismo pero con el infimo
por lo tanto si tenes una suc que es acotada y monotona, converge. asique si tenes una subsucesion acotada y monotona, la subsucesion es convergente.
A es acotado entonces existen b y c \(\in \mathbb{R}\)tal que \(b \leq a \leq c\) \(\forall a \in A\)
luego si \({a_n} \subset A\) entonces \(b \leq a_n \leq c\) \(\forall n \in \mathbb{N}\)
Muchas gracias por las demostraciones, pero del punto 1 la demostración de Quimey, me quedaron varias cuestiones, por ejemplo al principio dice “Si ‘A1’ = ‘s’ entonces la sucesión constante ‘A1’ sirve” y no entiendo porqué si supuestamente la sucesión tenía que ser creciente. Luego dice que “Tiene que existir ‘a’ mayor que ‘a1’”, eso supongo que porque entre dos números diferentes siempre hay un tercero, ¿no? Y luego cuando dice que “el conjunto A1 por lo dicho antes es no-vacío”, eso no lo entendí porqué A1 es no-vacío.
“Si ‘A1’ = ‘s’ entonces la sucesión constante ‘A1’ sirve” y no entiendo porqué si supuestamente la sucesión tenía que ser creciente.
Si el teorema te dijera que existe una sucesion ESTRICTAMENTE creciente, seria falso. Considera el conjunto A = { 1 }. Es obviamente acotado, pero no existe ninguna sucesion de puntos de A que sea estrictamente creciente. Lo que si hay es una sucesion \(a_n\) tal que \(a_n \leq a_{n+1} \, \forall n \in \mathbb{N}\). Pensa que cuando el supremo de A pertenece a A, entonces la sucesion que es constantemente igual al supremo sirve.
meolans escribió:
Luego dice que “Tiene que existir ‘a’ mayor que ‘a1’”, eso supongo que porque entre dos números diferentes siempre hay un tercero, ¿no?
No. No pide solo eso, pide que haya un numero entre a1 y S, pero que ademas pertenezca al conjunto A. Si no existiera un numero con esas caracteristicas, entonces a1 seria una cota superior de A. Pero a1 es menor que S, y S es la menor de las cotas superiores. Absurdo.
meolans escribió:
Y luego cuando dice que “el conjunto A1 por lo dicho antes es no-vacío”, eso no lo entendí porqué A1 es no-vacío.
Si no hubiera ningun punto de A mayor a a1, entonces a1 seria el supremo. Pero ya descartamos esa posibilidad.