Bueno, estaba estudiando la demostracion del siguiente teorema:
Si A incluido en R es acotado, siendo S su supremo e i su infimo entonces existen \(\{a_n\}\) y \(\{b_n\}\) sucesiones tales que \(\{a_n\}\) es creciente y \(\lim_{n}{a_n}= S\) y \(\{b_n\}\) es decreciente y \(\lim_{n}{b_n}= i\).
Puede que esta demo este bien (para \(a_n\), por ahora)?:
Como S es el sup(A), entonces por definicion, \(\forall \epsilon > 0, \exists a \in A / a > S - \epsilon\).
Sea \(C_n = \left\{a \in A | S - \frac{1}{n} < a < S - \frac{1}{n+1}\right\}\) (...pruebo que no es vacio...) y sea la sucecion \(\{a_n\} = \{a | a \in C_n\}\)
Luego, como \(S - \frac{1}{n} < a_n < S - \frac{1}{n+1}\right\} \forall n \in \mathbb{N}\)
Como las sucesiones " de los costados " tiende a S cuando n tiende a \(\infinity\), por teorema de estriccion \(\{a_n\}\) tiende a S.
Masomenos asi esta bien? Mi duda fundamental es si con esa forma de definir los \(C_n\) me aseguro que la funcion SEA creciente, o si con menos me basta (yo lo vi en un apunte a esta forma pero con \(C_n= \left\{a \in A | S - \frac{1}{n} < a \right\}\), es muy parecida a la que me explicaron en la practica igual...
Tambien se podria tomar \(\{a_n\} = \frac{2S - \epsilon}{2^n} o 2^{n-1}\), no?
...Sea \(C_n = \left\{a \in A | S - \frac{1}{n} < a < S - \frac{1}{n+1}\right\}\) (...pruebo que no es vacio...) ...
Me parece que eso es mentira, por ejemplo si A={a}, o sea que A consiste de un solo elemento.
Se pueden construir ejemplos menos triviales.
No se porque le pedis a<S-1/(n+1), para pedirle que sea creciente lo que tenes que hacer es construirla inductivamente, y en cada paso decir que existe un a tal que a>S-1/n y \(a> a_{n-1}\).
iba a decir lo mismo que quimey pero me colque haciendo algo y me gano(igual digo algo para llegar a los 100 posts 😆 )
yo no entendi que quisiste decir con que se podia tomar
$$a_n=\frac{2S-\epsilon}{2^n}$$
nada te asegura que ese numero este en tu conjunto....
en fin, la forma correcta es lo que dijo quimey, cualquie cosa pregunta.
Si A incluido en R es acotado, siendo S su supremo e i su infimo entonces existen \(\{a_n\}\) y \(\{b_n\}\) sucesiones tales que \(\{a_n\}\) es creciente y \(\lim_{n}{a_n}= S\) y \(\{b_n\}\) es decreciente y \(\lim_{n}{b_n}= i\).
Como S es el sup(A), entonces por definicion, \(\forall \epsilon > 0, \exists a \in A / a > S - \epsilon\).
Sea \(C_n = \{a \in A | S - \frac{1}{n} < a \}\) (...pruebo que no es vacio...) y sea la sucecion \(\{a_n\} = \{a | a \in C_n\}\)
Luego, como \(S - \frac{1}{n} < a_n < S \; \forall n \in \mathbb{N}\)
Como las sucesiones " de los costados " tiende a S cuando n tiende a infinito, por el teorema de estriccion \(\{a_n\}\) tiende a S.
Quimey: Si A={a}, no seria a = sup(A) (y el infimo, de paso) y por lo tanto existe b en A tal que b > a - epsilon, siendo b = a? Porque si lo que me decis fuera asi, la proposicion seria falsa, pero se demuestra correcta...
*Si se necesita solamente probar que existe una sucesion, ¿hace falta poner algo mas elaborado o basta dejar la demostracion lo mas simple que se pueda?
juanma: me confundi, en realidad era \(a_n = S - \frac{S + a_1}{2^n}\) (si no me qeuivoco de nuevo) porque esta sucecion toma el punto medios entre el termino \(a_{n} y a_{n+1}\), asi que tiende a S y es monotona creciente.
Sea \(C_n = \{a \in A | S - \frac{1}{n} < a \}\) (...pruebo que no es vacio...) y sea la sucecion \(\{a_n\} = \{a | a \in C_n\}\)
En tanto al cjto que pusiste, efectivamente no seria vacio esta vez porque el hecho de que S sea el supremo te asegura que existe por lo menos un a en A que cumple eso. El tema es que cuando definis tu suc \(\{a_n\} = \{a | a \in C_n\}\) asi no esta bien definida. Del lado derecho lo que tenes es un conjunto, no una sucesion.
raben escribió:
Quimey: Si A={a}, no seria a = sup(A) (y el infimo, de paso) y por lo tanto existe b en A tal que b > a - epsilon, siendo b = a? Porque si lo que me decis fuera asi, la proposicion seria falsa, pero se demuestra correcta...
*Si se necesita solamente probar que existe una sucesion, ¿hace falta poner algo mas elaborado o basta dejar la demostracion lo mas simple que se pueda?
Respecto al ejemplo de Quimey, la proposicion no seria falsa, las dos sucesiones que tomarias serian constantes y por lo tanto creciente y decreciente(la prop no te pide estrictamente monotona). Asique seria verdadera.
raben escribió:
juanma: me confundi, en realidad era \(a_n = S - \frac{S + a_1}{2^n}\) (si no me qeuivoco de nuevo) porque esta sucecion toma el punto medios entre el termino \(a_{n} y a_{n+1}\), asi que tiende a S y es monotona creciente
El problema aca es que esa suc. que definiste, no tiene porque estar en el cunjunto A, nada te asegura eso. por ejemplo la suc \((1+1/n)^n\) es un contraejemplo.
Intenta atacarlo con la idea que te dio Quimey antes, sino pregunta que te respondemos.
Mmm.. mejor diganme nomas, porque esa forma mas o menos era la que me habian explicado en clases (practicas/teoricas) o yo copie muuuy mal la demo o...
Lo hacemos para el supremo y con la misma notacion que usabas:
Sea \(a_1\in A\) tal que \(a_1>S-\epsilon\). Si \(a_1=S\) entonces la sucesion constante \(a_1\) sirve. Si no tiene que existir \(a>a_1\) y \(a\in S\) (porque si no \(a_1\) seria una cota superior de A menor que el supremo). Considero el conjunto \(A_1=\{a \in A : a>a_1\}\). Por lo dicho antes es no vacio y ademas claramente S es su supremo. Ahora repitiendo el caso anterior podemos tomar \(a_2 \in A_1\) y definir \(A_2\) de una manera similar.
Aplicando un argumento inductivo (o poniendo puntos suspensivos ....) construis una sucesion.
Gracias!
Yo me confundi cuando escribi que la sucesion\(\{a_n\}\)era el conjunto\(\{a | a \in C_n\}\). En realidad decia que el termino \(a_n\) de la sucecion pertenecia a \(C_n\)