Un par de ejercicios interesantes de final...

1)Sea \(f: (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) derivable tal que \(\lim_{x \to +\infty}f(x)=1\)
a) Probar que existe una sucesión \((x_n)_{n \geq 1}\) tal que \(x_n \rightarrow +\infty\) y \(f'(x_n)\rightarrow 0\)
b) ¿Existe el limite \(\lim_{x \to +\infty}f'(x)\)?

y

2)Hallar una función \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) derivable tal que \(f(x)>0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\) y ademas para todo polinomio \(p\) la siguiente integral converge:

Hola!
comento lo que se me ocurrió para el segundo:
elijo\($f(X)= \frac {1}{e^x^2} $,\) donde f es derivable pues es división y composición de funciones derivables, además f(x)>0 para todo \($x \in \mathbb{R}$ entonces, me queda analizar la convergencia de: $ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{p(x)}{e^x^2} dx $\). Como quiero usar algún criterio de comparación y cualquiera que quiera usar me pide que\($ f:(- \infty,+ \infty) \rightarrow {\mathbb{R}}_{>=0}$ o que $ f:(- \infty,+ \infty) \rightarrow {\mathbb{R}}_{\leq 0}$\) entonces analizo convergencia absoluta, es decir: si

mi problema viene al intentar demostrar de que es convergente cuando x tiende a infinito ( porque al estar analizando convergencia absoluta también estas probando cuando x tiende al menos infinito). Es decir yo sé q la puedo comparar con cualquiera de las funciones p, con p mayor a 1 (que son las convergentes en el infinito) ya que lo que voy a estar haciendo es transformar el polinomio p(x) en uno de grado mayor. pero como " función exponencial le gana a cualquier polinomio" voy a estar demostrando que converge para cualquier polinomio.

con respecto al primero, también necesitaria un empujoncito 😄

gracias!

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"La matemática es una travesía al interior de una extraña jungla donde los exploradores se pierden con frecuencia".

Como vos decís, la función \(f(x)\eq={e}^{-{x}^{2}}\) es el candidato ideal. Lo que podés hacer es usar que un polinomio se escribe como \(p(x)\eq=\sum_{i\eq=0}^{n}{a}_{i}{x}^{i}\) para algún \(n\). Entonces, por linealidad, si probarás que \(\int_{-\infty}^{+\infty}{x}^{i}{e}^{-{x}^{2}}\,dx\) existe para todo i, tenés probado el ejercicio. Para esto último, fijate la siguiente idea:
-\(\int_{-\infty}^{+\infty}{e}^{-{x}^{2}},dx\) converge.
-\(\int x{e}^{-{x}^{2}}\,x\eq=-\frac{1}{2}{e}^{-{x}^{2}}+K\), con lo que podés verificar a mano si la integra impropia converge
-Si llamamos \({I}_{n}\eq=\int {x}^{n}{e}^{-{x}^{2}}\,dx\):

Con esa expresión de la integral fijate que por medio de un argumento inductivo podés concluir convergencia(usé partes en el segundo paso) de la integral impropia. -Una vez probado que \(\int_{-\infty}^{+\infty}{x}^{i}{e}^{-{x}^{2}}\,dx\) existe para todo i, si \(p(x)\eq=\sum_{i\eq=0}^{n}{a}_{i}{x}^{i}\), queda: De acá que al existir cada integral(impropia) que sumás existe la integral de \(p(x){e}^{-{x}^{2}}\) existe. Fijate si sirve la idea.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

Muchisimas gracias!!
La verdad es que se me había ocurrido usar inducción, pero me parecio que estaba inventando. Es decir, algebra I no la cursan todos los que hacen análisis y sería injusto tomar un ejercicio que saliese por ese camino. Igual hiciste que tenga un poco más de confianza para resolver los ejercicios (no me venía saliendo nada). 😄

Para el 1) se me ocurrio lo siguiente.

a) Si hay una cantidad infinita de pares \((a_n, b_n)\) tales que \(0 < a_1 < b_1 < a_2 < b_2 < \dots < a_{n-1} < b_{n-1} < a_n < b_n\) y \(f(a_n) = f(b_n)\) para todo \(n \in \mathbb{N}\), entonces por Rolle sale que \(f'\) tiene infinitos ceros. Si no, \(f\) es monotona a partir de un punto. Entonces, \(f'(x) > 0\) o \(f'(x) < 0\) a partir de ese punto. Supongamos que es positiva. Si fuera mayor que un epsilon positivo a partir de algun punto, entonces la funcion \(f\) seria no acotada, lo cual es contradictorio. Entonces tiene que existir una sucesion \(x_n\) tal que \(f'(x_n) < \frac{1}{n}\) para todo \(n \in \mathbb{N}\). Luego, \(f'(x_n) \rightarrow 0\). Es analogo si \(f'\) es siempre negativa a partir de un punto.

b) No necesariamente. Contraejemplo: \(f(x) = \frac{1}{x} \sin (x^2) + 1\).

Para el ejercicio 2, sirve tomar \(f(x) = 1/|x|^{|x|}\)?

Porque si consideramos el intervalo \([-gr(p)-2,gr(p)+2]\) como es un intervalo finito no nos importa lo que pase ahí adentro, y después la función es siempre menor a \(p(x)/|x|^gr(p)+2\) en módulo, que por desigualdad triangular es como sumar para todos los términos de \(p\) la función \(|a_i x^i/|x|^{|x|}| < |a_i x^i/|x|^{gr(p)+2}| = |a_i / |x|^{(gr(p)+2-i)}| < |a_i / x^2|\) que converge para cada término del polinomio, entonces converge para el polinomio y como converge absolutamente entonces converge. Está bien lo que estoy diciendo si no consideramos la falta de formalidad de mi demostración?

Editado 1 vez.

No me queda claro si es derivable como pide el enunciado.
Una mas facil es:
\(e^{-x^2}\).

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Quimey

se puede hacer esto en el 1? =S..

\(\lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = 1 \Rightarrow \forall \epsilon > 0, \exists n_{0} / \forall n > n_{0}, \left | F(X_n) - 1 \right | < \epsilon\)
Entonces, tomando \(\epsilon < \frac{1}{n}\) me queda:

Derivando (aca esta mi mayor duda de si se puede o no..) me queda: y tomando limite... \(\lim_{n \rightarrow \infty}f'(X_n) = 0\)

.-Eze-. escribió:

se puede hacer esto en el 1? =S..

\(\lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = 1 \Rightarrow \forall \epsilon > 0, \exists n_{0} / \forall n > n_{0}, \left | F(X_n) - 1 \right | < \epsilon\)
Entonces, tomando \(\epsilon < \frac{1}{n}\) me queda:

$$\frac{-1}{n} < F(X_n) - 1 < \frac{1}{n}$$

Derivando (aca esta mi mayor duda de si se puede o no..) me queda:

$$\frac{-1}{n} < f'(X_n) < \frac{1}{n}$$

y tomando limite... \(\lim_{n \rightarrow \infty}f'(X_n) = 0\)

Fijate que estas suponiendo que derivar te mantiene las desigualdades, pero entonces....
0<1/x entonces 0<-1/x^2 . :S