Pregunta Teórica sobre conjuntos conexos y arcoconexos

Tengo una serie de dudas sobre la clasificacion de conjuntos en conexos y arcoconexos, a ver si alguien me puede ayudar:

1)Que un conjunto sea conexo implica que es arcoconexo? O es al reves?
2)Toda bola abierta es conexa, es cierto que es arcoconexa? y una bola cerrada?
3)Es arcoconexo un cuadrado cerrado?

Muchas gracias de antemano.

1)Convexo \(\implies\) arconexo \(\implies\) conexo. Que un conjunto sea conexo quiere decir que no esté "desconectado"(no se pueda escribir como unión disjunta de dos abiertos no vacíos, para ser más preciso). Arcoconexo que dados dos puntos puedas unirlos por una curva, y convexo que dados dos puntos el segmento que determinan quede contenido en el conjunto.
2)Una bola(abierta o cerrada) es convexa. En base a 1) tenés que es conexa y arcoconexa
3)Un cuadrado cerrado es convexo. De nuevo sigue por 1) que es conexo y arcoconexo.
En \(\mathbb{R}^{n}\) vale que si un conjunto \(A\) es conexo y abierto sii es arcoconexo.