Hola---podrán ayudarme con este ejercicio?
Sea \(f\) e Q[x] un polinomio que tiene como raíz a una raíz octava primitiva de la unidad. Probar que \(X^4 + 1\) divide a \(f\).
Llegué a la mitad, pero no se si está bien.
Las raíces octavas primitivas son \(w $_{1}$\), \(w $_{3}$\), \(w $_{5}$\) y \(w $_{7}$\).
En caso de que su raíz sea \(w $_{1}$\), entonces \(w $_{5}$\) también es raíz y visceversa; y si es \(w $_{3}$\), entonces \(w $_{7}$\) tmb es raíz y visceversa.
Bueno ...hasta qhi creo que llegue....gracias!! =)
Fijate el mcd entre \((X^4+1:f)\)
Como \(X^4+1\) está en \(\mathbb{Q}[X]\) y es irreducible en \(\mathbb{Q}[X]\), el mcd entre \(X^4+1\) y cualquier polinomio en \(\mathbb{Q}[X]\) es \(1\) ó \(X^4+1\).
\(X^4+1\) tiene como raices a las raíces octavas primitivas de la unidad.
Como \(f\) tiene como raíz a una raíz octava de la unidad, el mcd no puede ser \(1\)
(acá tengo varias dudas, porque los dos polinomios están en \(\mathbb{Q}[X]\) y la raíz común está en \(\mathbb{C}\), pero vi un ejercicio muuuuy parecido y se resolvía así, pero ahora no me acuerdo exactamente la justificación :S)
Buenos, como el (\(X^4+1:f) \neq 1\) entonces \((X^4+1:f)=X^4+1\) entonces \(X^4+1|f\)
Si mal no recuerdo la justificación es que al multiplicar dos raices primitivas octavas de la unidad, te queda un coeficiente que no está en \(\mathbb{Q[X]}\) (habría que probar, pero quiero ddecir que te quedaría algo como \((2+\sqrt{3})X\)), pero al multiplicar las 4 se convierte en un polinomio con coeficientes en \(\mathbb{Q[X]}\). Esto es porque no solo el conjugado de la raiz compleja va a estar en el polinomio, sino que, si está en \(\mathbb{Q[X]}\), el "conjugado" (\(\frac{a+\sqrt{n}}{b} \iff \frac{a-\sqrt{n}}{b}\), con n no cuadrado perfecto) también va a ser raiz.
Pero esto es solo una idea y estoy oxidado con polinomios, no me puse a hacer las cuentas.
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.