a)Sea \(f \in \mathbb{Q}\) un polinomio que tiene como raíz a una raíz octava primitiva de la unidad. Probar que \(x^4+1\) divide a \(f\)
b)Hallar \(g \in \mathbb{Q}\) de grado minimo tal que tiene una raíz multiple que es raíz octava primitiva de la unidad y \(g(1)=1\)
En en el punto a)
Basta ver cuales son las raíces octavas primitivas.
Tienen módulo 1 y su argumento es del tipo \(\frac{2k\pi}{8}=\frac{k\pi}{4}\) con \((k:n)=1\)
Hay que probar que esas son raíces de \(x^4+1\), falta ver que pasa con el grado de \(f\).
Como \(f\) tiene coeficientes en \(\mathbb{Q}\) y por lo tanto en \(\mathbb{R}\) el conjugado de mi raíz octava primitiva de la unidad también lo divide.
Hasta ahi sabemos que el \(grad (f) = 2\), con \(f(x)=(x-z)(x-\overline{z})\), donde Z es una raíz octava primitiva de la unidad.
Desarollo el polinomio, \(f(x)=x^2-2re(z)+1\)
Si vemos la parte real de las raíces octavas primitivas, vamos a ver que son del tipo \(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\) pongamos una en el polinomio, por ejemplo\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) .
\(f(x)=x^2 + \sqrt{2}+1\) Claramente esto no esta en \(\mathbb{Q}\)
Si lo ordenamos solo un poco, \(f(x)=x^2+(1+\sqrt{2})\) y ya se ve por que hay que mulitplicar para que esté en \(\mathbb{Q}\), hay que multiplicar por su conjugado en los reales, es decir \(x^2+(1-\sqrt{2})\), que tb tiene como raíces a las otras 2 raíces octavas primitivas de la unidad.
Luego \(f(x)=(x^4+1)h(x)\). Donde \(h(x)\) es un polinomio en \(\mathbb{Q}\)
En el punto b)
Ya vimos que si \(f\) tiene una raíz primitiva octava de la unidad y si \(f \in \mathbb{Q} \Rightarrow f(x)=(x^4+1)h(x)\)
Ahora me piden un \(g \in \mathbb{Q}\) de grado minimo, que tenga una raíz octava primitiva de la unidad y que sea múltiple. Con el razonamiento del ejercicio a) se deduce que \(g(x)={(x^4+1)}^2h(x)\)
Me hace falta algo más, quiero que \(g(1)=1\), evaluo y veo que pasa.
A corregir!
Firma
Hoy esta muerto y con él, cuanta memoria se apaga...