es un número real negativo. Calcular los posibles restos de dividir n por 8.
Acá va lo que pensé:
Encontremos el módulo y el argumento
LLamo \(z=(2-2i)\) y \(w=(1+i)\)
El módulo de \(|z|=\sqrt{8}\)
Como \(z^{13n+2}\Rightarrow |z|^{13n+2}={(\sqrt{8})}^{13n+2}\)
El módulo de \(|w|=\sqrt{2}\)
Hasta ahí el módulo, ahora el argumento
\(z=(2-2i)\) divido por el módulo \(\Rightarrow z=\sqrt{8}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}})\)
Luego \(z=\sqrt{8}(cos\frac{7\pi}{4} +isen\frac{7\pi}{4})\) Después me fijo que pasa con la potencia
Hago lo mismo con \(w\) y me queda que \(w=\sqrt{2}(cos{\frac{\pi}{4}}+isen\frac{\pi}{4})\)
Me dicen que ese numero para determinado \(n\) es un real negativo, entonces necesariamente su argumento tiene que ser \(\pi + 2k\pi\), busquemos el \(n\).
Por el Teorema de Moivre cuando divido dos complejos se restan los argumentos y como a z lo tengo elevado a la n, el exponente multiplica al argumento (sory por ser medio indio con la expliación)
\(91n+9=8k \Leftrightarrow 91n+9\equiv0(8)\Leftrightarrow n\equiv 5 (8)\) (con una tablita sale fácil)
Y creo que eso es lo que te piden cuando te piden averiguar el resto, pero no se si lo entendí bien
Nota:Se ve que el argumento de z es el argumento del conjugado de w, entonces \(arg(w)=2\pi-arg(z)\) y quedan un poco mejor en el parcial.
Corriganlo si pueden!
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Hoy esta muerto y con él, cuanta memoria se apaga...