Estoy un poco perdido con este ejercicio. Lo primero que hice, haciendo igualdades, fue tratar de llegar a una expresión un poco más comoda.
$$w(w+{w}^{3}+{w}^{5})=-1$$
$$\overline{w}+w+{w}^{3}+{w}^{5}=0$$
$$2Re(w)+{w}^{3}+{w}^{5}=0$$
$$2Re(w)+{w}^{3}(1+{w}^{2})=0$$
y ahí me quedo.. Ahí lo que atinaria a hacer es q\({w}^{2}=-1\)
=> w= i,-i
peeero... y después como sigo??como ven estoy un poco perdido, alguna ayuda para terminarlo o empezarlo 😄
y como dijo sofi, tomando \(w^2=z\) te queda una suma geométrica
$$\sum_{i=0}^3{z^{i}} = \frac{z^4-1}{z-1}$$
con el reemplazo que habíamos hecho :
$$\frac{w^8-1}{w^2-1}$$
y estos \(w\) van a ser siempre tales que \(w^2\neq1\) (sofi dixit, gracias sofi)
y simplificando el numerador: \(\frac{(w^2-1)(w^2+1)(w^4+1)}{(w^2-1)}\)
queda \((w^2+1)(w^4+1)\), por lo tanto, \((w^2+1)=0\) ó \((w^4+1)=0\)
para \((w^2+1)\) no es dificil fijarse que los w que cumplen ( que son \(i\) y \(-i\)) pertenecen a \(G_{28}\).
y ahora falta ver \((w^4+1)\)
para que \(w^4+1=0\), \(w^4=-1\)
y \(w^{28}-1 = (w^4)^7 - 1 = (-1)^7 -1 = -2 \neq 0\)
por lo tanto, los w que cumplen son \(i\) y \(-i\)
También podés decir:
Suponemos \(w^2 \neq 1\) (si no estarías dividiendo por \(0\))
\(\frac{w^8-1}{w^2-1}=0 \Longleftrightarrow w^8-1=0 \Longleftrightarrow w \in {G}_{8}\).
Entonces \(w \in {G}_{8}\) y \(w \in {G}_{28} \Rightarrow w \in {G}_{8}\cap{G}_{28} \Rightarrow w \in {G}_{(28:8)}={G}_{4}\)
Entonces \(w=1,-1,i,-i\)
Como estamos suponiendo \(w^2 \neq 1\) , entonces \(w= i, -i\)
Reemplazando vemos que
\(1+i^2+i^4+i^6=1-1+1-1=0\) y
$$1+(-i)^2+(-i)^4+(-i)^6=1-1+1-1=0$$
Luego \(i\) y \(-i\) son la suluciones que buscaba
(Si \(w^2=1\), reemplazando en la ecuación original queda \(4=0\), absurdo)
También podés decir:
Suponemos \(w^2 \neq 1\) (si no estarías dividiendo por \(0\))
\(\frac{w^8-1}{w^2-1}=0 \Longleftrightarrow w^8-1=0 \Longleftrightarrow w \in {G}_{8}\).
Entonces \(w \in {G}_{8}\) y \(w \in {G}_{28} \Rightarrow w \in {G}_{8}\cap{G}_{28} \Rightarrow w \in {G}_{(28:8)}={G}_{4}\)
Entonces \(w=1,-1,i,-i\)
Como estamos suponiendo \(w^2 \neq 1\) , entonces \(w= i, -i\)
Reemplazando vemos que
\(1+i^2+i^4+i^6=1-1+1-1=0\) y
$$1+(-i)^2+(-i)^4+(-i)^6=1-1+1-1=0$$
Luego \(i\) y \(-i\) son la suluciones que buscaba
(Si \(w^2=1\), reemplazando en la ecuación original queda \(4=0\), absurdo)
Una interpretación geométrica:
Llamando \(z=w^2\), te queda que \(1+z+z^2+z^3=0\). Esto tiene tres soluciones en los complejos, \(-1, i, -i\). Entonces buscamos \(w \in G_{28} / w^2 = -1, i, -i\).
Para \(-1\), claramente \(i\) y \(-i\) valen, pues \(i^{28} = (i^4)^8 = 1\).
Si buscamos dos complejos tal que multiplicados den \(i\), son dos giros (recordemos, son raíces de la unidad, deben tener módulo 1, así que en el "plano complejo", son giros en torno al \((0, 0)\)), tales que sumados, dan \(90^\circ\). Estos son el giro de \(45^\circ\), y el giro de \(180^\circ+45^\circ = 225^\circ\), o sea (normalizados), \(\frac{(1+i)}{\sqrt{2}}, \frac{-(1+i)}{\sqrt{2}}\). Pero si al cuadrado (sumando ángulos de giros, recordemos que \(arg(z . w) = arg(z) + arg(w) + 2k\pi\)) dan \(90^\circ\), entonces a la cuarta dan \(180^\circ\). Entonces, como \(28 = 4 . 7\), estaríamos girando siete veces \(180^\circ\), que como es impar, nos deja en -1, que no queremos. Entonces estos dos bichos no son solución, porque no son raíces 28-avas de la unidad.
Para el último caso, \(w^2 = -i\), hacemos un análisis parecido. Si componiendo 2 veces nos mandan a \(270^\circ\), componiendo 4 veces nos mandan a \(180^\circ\). Pero entonces, otra vez, sería girar 7 veces \(180^\circ\), que nos deja en el -1, no en el 1. Entonces los otros dos \(w\) que cumplen con esto tampoco son raíces 28-avas de la unidad.
Entonces las soluciones son \(i, -i\).
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.