- a) Calcular la suma de todas las raíces primitivas de \(G_{75}\)
b) Para \(w \in G_{64}\) primitiva, calcular \(\sum_{i=8}^{104}w^{4i}\)
a)
\(\sum_{G_{75}}w=1+\sum_{G_{3^*}}w+\sum_{G_{5^*}}w+\sum_{G_{15^*}}w+\sum_{G_{25^*}}w+\sum_{G_{75^*}}w\)
Hagamos la \(\sum_{G_{15^*}}w\)
C.A.
$$\sum_{G_{15}}w=1+\sum_{G_{3^*}}w+\sum_{G_{5^*}}w+\sum_{G_{15^*}}w$$
$$\sum_{G_{15}}w=1-1-1+\sum_{G_{15^*}}w$$
$$0=-1+\sum_{G_{15^*}}w$$
$$\sum_{G_{15^*}}w=1$$
Luego por algunas propiedades mágicas como las que estan ennnnnnn
\(\rightarrow\)😄
$$\sum_{G_{75}}w=1-1-1+1+0+\sum_{G_{75^*}}w$$
$$\sum_{G_{75}}w=\sum_{G_{75^*}}w$$
\(\sum_{G_{75^*}}w=0\)
b)Completo la sumatoria
$$\sum_{i=0}^{104}w^{4i}\sum_{i=0}^{7}w^{4i}$$
Podemos usar la geometrica porque w es una raíz primitiva de 64 entonces es distinta de 1
$$\frac{w^{(105)(4)}-1}{w^4-1}-\frac{w^{(8)(4)-1}}{w^4-1}$$
$$\frac{w^{(105)(4)}-1-w^{(8)(4)}+1}{w^4-1}$$
Como \(w^{64}=1\)
$$\frac{w^{64.6+36}-w^{32}}{w^4-1}$$
$$\frac{w^{36}-w^{32}}{w^4-1}$$
$$\frac{w^{32}(w^4-1)}{(w^4-1)}=w^{32}$$
Sabemos que \(|w|=1\)
¿Cuál es su argumento?, es de la forma \(\frac{2k\pi}{64}=\frac{k\pi}{32}\)
Como \(w^{32}\), por Moivre \(arg(w)=32\frac{k\pi}{32}=k\pi\)
Al ser \(w\) una raíz primitiva de 64, \((64:k)=1 \Rigtharrow k=2q+1\) k es impar
Entonces el argumento será de la forma \(2q\pi+\pi\)
Luego \(w^{32}=-1\)
Firma
Hoy esta muerto y con él, cuanta memoria se apaga...