Representar los \(z\in{\mathbb{C}}\) tales que
$$Im (z^3\left |{z}\right |(1+i)\frac{\bar{z}}{2})<0 \wedge \left |{z^3\left |{z}\right |(1+i)\frac{\bar{z}}{2}}\right |<16\sqrt[]{2}$$
Tema
[No Resuelto] 18/12/09 Ejercicio 3
Módulo
\(\left |{z^3\left |{z}\right |(1+i)\frac{\bar{z}}{2}}\right| = \frac{|z|^3|z|\sqrt{2}|\bar {z}|}{2}=\frac{|z|^5\sqrt{2}}{2}\leq 16\sqrt{2}\Leftrightarrow|z|\leq 2\)
Esto hay que justificarlo diciendo que \(|z|=|\bar{z}|\) y que \(|(1+i)|=\sqrt{2}\)
Argumento
\(arg(z^3)=3arg(z)-2k\pi\) Por Moivre
$$arg(1+i)=\frac{\pi}{4}$$
$$arg(\bar {z})=2\pi - arg(z)$$
\(arg(k)=0\) (k=constante)
\(arg(kz)=arg(k)+arg(z)=0+arg(z)\) También por Moivre
Aplicando esto (notese que la diferencia es estricta)
$$\pi< 3arg(z)+\frac{\pi}{4}+2\pi-arg(z)-2k\pi< 2\pi$$
$$\pi < 2arg(z)+\frac{9\pi}{4}+2k\pi< 2\pi$$
$$-\frac{5\pi}{4}< 2arg(z)+2k\pi< -\frac{\pi}{4}$$
$$-\frac{5\pi}{8}< arg(z)+k\pi< -\frac{\pi}{8}$$
$$-\frac{5\pi}{8}+k\pi< arg(z)< -\frac{\pi}{8}+k\pi$$
Como estoy hablando de argumentos, se que deben estar entre 0 y \(2\pi\)
$$0\leq-\frac{5\pi}{8}+k\pi< 2\pi$$
$$\frac{5i}{8}\leq k < \frac{21}{8}\;\; \;\;\; \; k:\{1,2\}$$
Planteo lo mismo para la otra desigualdad
$$0\leq-\frac{\pi}{8}+k\pi<2\pi$$
$$\frac{1}{8}\leq k<\frac{17}{8}\;\; \;\;\; \; k:\{1,2\}$$
Finalmente con k=1
$$\frac{3\pi}{8}\leq arg(z)< \frac{7\pi}{8}$$
y con k=2
$$\frac{11\pi}{8}\leq arg(z)< \frac{15\pi}{8}$$
El dibujo lo harán ustedes, pero me parece que es como un reloj de arena inclinado.
Corriganlo !
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Hoy esta muerto y con él, cuanta memoria se apaga...
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Floreal Ruíz escribió:
Argumento
[resolucion]\(arg(z^3)=3arg(z)\) Por Moivre
eso es fruta, falta el k. Pensalo con z=i por ejemplo...
Firma
Quimey
Sisi es verdad, ahi lo arreglo, pero lo agregué en la ecuación final. Lo puse restando asi despues lo podía pasar sumando 😛