Bueno, la idea es hacer un resumen con las propiedades indispensables a la hora de encarar un problema que tenga números complejos. Si creen que hace falta agregar propiedades, solo postéenlo(solo he obviado la definición de la suma y producto de números complejos)
\(\mathbb{C}\), denota al conjunto de los números complejos. Los números complejos se representan usualmente en forma binómica; sea \(z\in\mathbb{C}\), su forma binómica es \(z\eq=a+bi,\;a,b\in\mathbb{R}\).
La parte real y la parte imaginaria de \(z\) se denotan respectivamente \(Re(z),\;Im(z)\). En el ejemplo anterior, \(Re(z)\eq=a,\;Im(z)\eq=b\). También suelen notarse \(\Re(z)\eq=a,\;\Im(z)\eq=b\)
A la hora de representar geométricamente los complejos, puede pensárselos como vectores en \(\mathbb{R}^{2}\), siendo el eje ''x'', el eje real y el eje ''y'', eje imaginario.
-PROPIEDAD: \({i}^{2}\eq=-1\).
DEFINICIÓN 1: se define el módulo de un número complejo
\(z\eq=a+bi\), como \(|z|\eq=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}\)
DEFINICIÓN 2: sea \(z\eq=a+bi\), se define el conjugado de z, y se nota \(\overline {z}\), al número complejo:
\(\overline {z}\eq=\overline {a+bi}\eq=a+(-b)i\).
PROPIEDADES: Sean \(z,w\in\mathbb{C}\),
-\(\overline{z+w}\eq=\overline{z}+\overline{w}\). Esta propiedad, se puede extender inductivamente a n números complejos:
-\(\overline{z\cdot w}\eq=\overline{z} \cdot \overline{w}\). Esta propiedad, se puede extender inductivamente a n números complejos:
\(\overline{\prod_{j\eq=1}^{n}{z}_{j}}\eq=\prod_{j\eq=1}^{n}\overline{{z}_{j}}\). Un corolario inmediato es \(\overline{{z}^{n}}\eq={\overline{z}}^{n}\)
-\(\overline{\overline{z}}\eq=z\)
-\(z\eq=\overline{z}\Leftrightarrow z\in\mathbb{R}\). Análogamente, \(z\eq=-\overline{z}\Leftrightarrow z\;es\;un\;imaginario\;puro\). Un imaginario puro tiene \(Re(z)\eq=0,\;Im(z)\neq 0\)
-\(z\cdot \overline{z}\eq={|z|}^{2}\). De esta propiedad, se define el inverso multiplicativo en \(\mathbb{C}-\{0\}\):
-\(\overline{{z}^{-1}}\eq={\overline{z}}^{--1},\;z\neq 0\)
-\(|z\cdot w|\eq=|z|\cdot |w|\). Se deduce \(|{z}^{-1}|\eq={|z|}^{-1},\;z\neq 0\)
-\(|z+w|\leq |z|+|w|\)
-\(||z|-|w||\leq |z-w|\)
-\(|Re(z)|\leq |z|,\;|Im(z)|\leq |z|\)
Los números complejos, salvo el \(0\in\mathbb{C}\), se expresan de forma única \(z\eq=|z|(\cos(\arg(z))+i\sin(\arg(z))),\;0\leq\arg(z)< 2\pi\). esta expresión se llama expresión trigonométrica
del número complejo(también expresión en coordenadas polares). Si \(z\eq=a+bi,\;\cos(arg(z))\eq=\frac{a}{|z|},\;\sin(\arg(z))\eq=\frac{b}{|z|}\)
TEOREMA DE MOIVRE: sean \(z,w\in\mathbb{C}\),se cumple:
\(z\cdot w\eq=|z\cdot w|(\cos(\arg(z)+\arg(w))+i\sin(\arg(z)+\arg(w)))\).
PROPIEDADES DEL ARGUMENTO: sea \(z\in\mathbb{C}-\{ 0\}\). Sea \(\sim\) la relación de equivalencia sobre \(\mathbb{R}\) definida \(a\sim b\Leftrightarrow a-b\eq=2\pi k,\mathbb{Z}\) (es decir, difieren en una cantidad entera de vueltas). Se verifica:
-\(\arg(z)\eq=0\Leftrightarrow z\in\mathbb{R}_{>0}\)
-\(\arg(z)\eq=\pi\Leftrightarrow z\in\mathbb{R}_{<0}\)
-\(\arg({z}^{n})\eq=n\arg(z)\)
-\(\arg(\overline{z})\sim -\arg(z)\)
-\(\arg({z}^{-1})\sim -\arg(z)\)
-\(\arg(-z)\sim \arg(z)+\pi\)
Se define \({G}_{n}\eq= \{ z\in \mathbb{C}:{z}^{n}\eq=1 \}\), el grupo de las raíces n-ésimas de la unidad. Valen las siguientes propiedades:
-\(|{G}_{n}|\eq=n\), es decir, tiene exactamente n elementos.
-\(z,w\in {G}_{n}\Rightarrow z\cdot w\in {G}_{n}\)
-\(z\in {G}_{n}\Leftrightarrow \overline{z}\in {G}_{n}\)
-\(z\in {G}_{n}\Leftrightarrow {z}^{-1}\in {G}_{n}\)
-\(z\in {G}_{n}\Rightarrow |z|\eq=1\)
-\(-1\in {G}_{n}\Leftrightarrow n\;es\;par\)
-\(z\in {G}_{n}\Rightarrow \overline{z}\eq={z}^{n-1}\). En general, \(\overline{{z}^{j}}\eq={z}^{n-j},0\leq\;j\leq n\)
-\(z\eq=(\cos(\frac{2\pi k}{n})+i\sin(\frac{2\pi k}{n})),\;0\leq k\leq n-1,\;k\in\mathbb{N}\)
-\({G}_{n} \cap {G}_{m}\eq={G}_{(n:m)}\)
-\({G}_{n}\subset {G}_{m}\Leftrightarrow n|m\)
-\(z,w\in\;{G}_{n}\Rightarrow \overline{z}+\overline{w}\eq=\overline{z\cdot w}(z+w)\)
DEFINICIÓN: Sea \(w\in {G}_{n}\). \(w\) es una raíz enésima primitiva de la unidad si y sólo si satisface \({w}^{r}\neq 1,\forall 1\leq r\leq n-1\).
PROPIEDADES:(\({{G}_{n}}^{\ast}\) denota conjunto de las raíces enésimas primitivas de la unidad)
-\(w\in {{G}_{n}}^{\ast}\Leftrightarrow \forall z\in{G}_{n},\;existe\;r\in\mathbb{N}\;tal\;que\;z\eq={w}^{r}\). Es decir, todo elemento de \({G}_{n}\) es potencia de una raíz primitiva
-\(w\in {{G}_{n}}^{\ast}\Leftrightarrow \overline{w}\in {{G}_{n}}^{\ast}\)
-\(w\in {{G}_{n}}^{\ast}\Leftrightarrow w\eq=\cos(\frac{2\pi k}{n})+i\sin(\frac{2\pi k}{n})),\;(n:k)\eq=1\)
-\(w\in {{G}_{n}}^{\ast}\Leftrightarrow w\;no\;pertenece\;a\;{G}_{k},\forall k|n,\;k\neq n\).
-\(\sum_{w\in{G}_{n}}w\eq=0\), es decir, la suma de las raíces enésimas de la unidad es 0
-\(\prod_{w\in{G}_{n}}w\eq={(-1)}^{n-1}\), es decir, el producto de las raíces enésimas de la unidad es 1 o -1, según n
Estas son todas las propiedades que encontré útiles para resolver ejercicios. Si quieren que agrege más, o complete, posteen con la sugerencia. Además, si quieren que escriba la forma exponencial de los números complejos, también indiquen. Espero haber ayudado, aclarado y no haber cometido errores. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
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