[A resolver] Raices G5

Como siempre yo dejando mas problemas q soluciones,jajaj

Aca va otro:

Siendo w,z pertenecientes a G5. Probar que (z^16 + w^41)^5 vive en los Reales (osea eso es un numero real)

Yo lo saqué pero a la fuerza,me quedaron unos cuantos casos donde todo eso se cumple,sin problema de cuentas,el problema es q tengo q escrbir un montón,queria ver si a alguien se le ocurría una forma mas corta de verlo.

Saludos! 😄

Acá va (como se nota que terminé de rendir 😄)...

Tenemos entonces \(w, z \in G_5\). Notar que \(z^{16} = z^{5\cdot 3 +1} = (z^5)^3 \cdot z = 1 \cdot z = z\). Una cuenta idéntica muestra que \(w^{41} = w\). Tenés entonces que querés ver que \((z+w)^5 \in \mathbb R\). Que un número sea real quiere decir que es igual a su conjugado, así que lo que querés ver es que \((z+w)^5 = \overline{(z+w)^5} = (\overline z + \overline w)^5\). Ahora, hay que aprovechar que \(z \in G_5 \Rightarrow \overline z \in G_5\); fijate que que \(\overline z + \overline w = \overline z \overline w(z + w)\) (con el tiempo deja de ser tan mágico). Reemplazando en lo que teníamos antes, \((\overline z + \overline w)^5 = (\overline z \overline w(z + w))^5 = \overline w^5 \overline z^5 (z+w)^5 = (z+w)^5\). Tenés entonces que \((z^{16} + w^{41})^5\) es igual a su conjugado, y por lo tanto es un número real.

Andaaaaaa a saber q la suma de los conjugados era eso,yo lo probé sumando angulos separando en casos....Gracias!

esa propiedad no la conocía! se aplica a cualquier suma de conjugados? o tiene que ver que son de G5 los dos?

\(\overline{z\cdot w}(z+w)\eq=\overline{z\cdot w}z+\overline{z\cdot w}\cdotw\eq=\overline{z}\cdot z\cdot \overline{w}+\overline{w}\cdot w\cdot \overline{z}\eq={|z|}^{2}\cdot \overline{w}+{w}^{2}\cdot \overline{z}\). Si \(z,w\in {G}_{n},\;|z|\eq=|w|\eq=1\). Entonces, te queda \({|z|}^{2}\cdot \overline{w}+{|w|}^{2}\cdot \overline{z}\eq=\overline{w}+\overline{z}\). Es decir, no es una propiedad particular de \({G}_{5}\), sino de \({G}_{n}\). Espero haber sido claro y haber ayudado. Saludos.

En realidad es una propiedad de los complejos de modulo 1

sisi, a eso me refería. se entendió perfecto, gracias!

yo me perdí acá:

alguien me lo puede explicar?

gracias!

Fijate si tiene sentido: Si \(z\) y \(w\) son raices quintas de la unidad, entonces \(z^5 = w^5 = 1\). Entonces \(\overline{w}^5 = \overline{w^5} = \overline{1} = 1\).