Re: [Resuelto] Ejercicio

Propongo un par de cosas si quieren practicar. Cualquier cosa me los pueden preguntar si me ven por la facu...

1. \(z\in G_n \Rightarrow (1+z)^n \in \mathbb{R}\)
2. \(\{w*z : z\in G_n ; w\in G_m\}=G_{mcm(m,n)}\)
   Notar la similitud con el ej. del parcial
3. Si m y n se pueden escribir como suma de 2 cuadrados entonces m*n tambien

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Quimey

Pongo la resolución que se me ocurrió del primero.

Tenemos dos posibilidades iniciales; tirarse a desarrollar el binomio, o usar otro tipo de argumento, bastante más sencillo, para mi. Yo pensé lo siguiente. Es decir, si un complejo coincide con su conjugado, entonces es, particularmente, un real. Luego,tratemos de probar \({(z+1)}^{n}\eq=\overline {{(z+1)}^{n}}\eq={(\overline {z}+1)}^{n}\) (usé que \({(\overline {z})}^{n}\eq=\overline {{z}^{n}}\), y que se comportá bien con la suma, vale decir, puede distribuirse.). Vamos a usar otra propiedad, sumamente sencilla, pero muy útil para este tipo de ejercicios; \(\overline {\overline {z} }\eq=z\) (es decir, conjugar dos veces es no hacer nada). Empecemos: Notemos que \(z\in {G}_{n}\Leftrightarrow \overline {z}\in {G}_{n}\), (es decir, si está un complejo, está su conjugado). Además, también vale \(z\in {G}_{n}\Leftrightarrow {z}^{-1}\in {G}_{n}\), (es decir, si está un complejo, está su inverso multiplicativo). Luego, saco factor común: \(\overline {{(\overline {z}+1)}^{n}}\eq=\overline {{(\overline {z} (1+{\overline {z}}^{--1}))}^{n}}\eq=\overline {{(\overline {z})}^{n}{(1+{\overline {z}}^{-1})}^{n}}\). Recordando que z es un elemento de \({G}_{n}\), \({\overline {z}}^{n}\eq=1\), queda: Como \({z}^{-1}\in {G}_{n},\Rightarrow {z}^{-1}\eq=\overline {z}\). Reemplazando... \({(1+{z}^{-1})}^{n}\eq={(1+\overline {z} )}^{n}\eq=\overline {{(1+z)}^{n}}\). Como era una cadena de igualdades, concluímos \({(z+1)}^{n}\eq=\overline {{(z+1)}^{n}}\Leftrightarrow {(z+1)}^{n}\in \mathbb{R}\), que era lo que queríamos probar. Me parece que está bien el razonamiento; gracias por los ejercicios, Quimey. Si podés, fijate si están bien. Desde ya, gracias.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

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no se como escribir z conjugado pero estube viendo y esto puede servir mira:

\overline{z}

😉

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Perfecto 😄. para escribir el conjugado, haces \overline. Por ejemplo, \overline z aparece como \(\overline z\).

Saludos.

Gracias; ya cambié la notación. Creo que quedó más entendible.

Esta perfecto el razonamiento. Es exactamente lo que pense cuando me lo preguntaron. Estaba en algun final.
Tiro otro de final:
Demostrar que \(f' | f \Leftrightarrow f=a(X-b)^n\)

Primero quise plantear el ejercicio 2 de los anteriores, porque era muy parecido al del parcial(de hecho, el del parcial era un caso particular). Vuelvo a escribir el enunciado y pongo la resolución que pensé:
\({G}_{[m,n]}\eq=\{ x\cdot y:x\in {G}_{m},\;y\in {G}_{n} \}\eq=A\)
Como es una igualdad de conjuntos, hay que probar \(A\subset {G}_{[m,n]},\;{G}_{[m,n]}\subset A\).
\(A\subset {G}_{[m:n]}\). Sea \(w\in A\). w satisface que \(w\eq= x\cdot y,\;x\in {G}_{m},\;y\in {G}_{n}\). Planteo igualdad de módulos y argumentos:
\(|x\cdot y| \eq=|w|\). Puesto que x,y, son raíces de la unidad, su módulo es 1. Luego, \(|x\cdot y| \eq=|x|\cdot |y|\eq= 1\eq= |w|\).

\(\arg(x\cdot y)\eq= \arg(w)\). Puesto que x, y, son raíces de la unidad, sus argumentos son respectivamente \(\frac{2\pi k}{m},\;\frac{2\pi q}{n},\;0\leq k \leq m-1,\;0\leq q\leq n-1\). Luego:
\(\arg{x\cdot y}\eq= \arg{x}+\arg{y}\eq=\frac{2\pi k}{m}+\frac{2\pi q}{n}\eq=\arg{w}+2\pi j,\;j\in \mathbb{Z}\).
Ahora voy a sacar mínimo común denominador, que no es otra cosa que \([m:n]\)
\(\frac{2\pi (\frac{[m:n]}{m}k+\frac{[m:n]}{n}q)}{[m:n]}\eq=\arg(w)+2\pi j\).
Luego, concluímos que w es de la forma: \(w\eq=1(\cos(\frac{2\pi (\frac{[m:n]}{m}k+\frac{[m:n]}{n}q)}{[m:n]})+i\sin(\frac{2\pi (\frac{[m:n]}{m}k+\frac{[m:n]}{n}q)}{[m:n]}))\Rightarrow w\in{G}_{[m:n]}\)

\({G}_{[m:n]}\subset A\). Sea ahora \(w\in {G}_{[m:n]}\). Rápidamente se concluye |w|=1. Estudio el argumento de w:

Probemos que puede escribirse arg(w) como suma de dos argumentos, a saber: \(\frac{2\pi q}{m}+\frac{2\pi r}{n},\;0\leq q\leq m-1,\;0\leq r\leq n-1\): Si pruebo que la ecuación \(\frac{[m:n]}{m}q+\frac{[m:n]}{n}r\eq=k\) admite soluciones enteras, prácticamente probé que puedo escribir a todo elemento de \({G}_{[m:n]}\), como producto de elementos de \({G}_{m},\;{G}_{n}\) (en efecto, el módulo de w es 1, con lo que en términos del módulo no hay complicaciones). Esta última es una ecuación diofántica lineal, que tiene soluciones enteras si y solo si \((\frac{[m:n]}{m}:\frac{[m:n]}{n})|k\). Pero este máximo común divisor es 1, y 1|k. Luego admite soluciones enteras. Entonces, concluyo que puedo escribir w como producto de complejos x,y, \(x\in {G}_{m},\;y\in {G}_{n}\). Luego, \({G}_{[m:n]}\subset A\) Como vale la doble inclusión, \({G}_{[m:n]}\eq=A\), que es lo que quería probar. Quiero hacer una aclaración en una parte de la demostración, particularmente, en la que indiqué que tenía soluciones enteras la ecuación diofántica; como tenía una cantidad entera de vueltas que compensaban, en realidad, tenia la ecuación igualada a \(k+2[m:n]Q\), y sigue admitiendo soluciones enteras, porque el máximo común divisor no se ve alterado. Después pienso los otros dos que faltan. Nuevamente, gracias por los ejercicios. Saludos.

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Una cosa... ver que \(A \subset G_{[m:n]}\) es bastante más sencillo. Lo que hizo exequiel parece estar bien... pero recuerden quién es \(G_{[m:n]}\). Dejo una solución, pero obviamente traten de pensarlo antes de mirarla. Saludos.

Si \(z \in A\), entonces existen \(x \in G_n\) e \(y \in G_m\) tales que \(z = xy\). Para ver que \(z \in G_{[n:m]}\), basta ver que \(z^{[n:m]} = 1\). Pero \([m:n] = mk = nj\), y entonces \(z^{[m:n]} = (x^m)^k (y^n)^j = 1 \cdot 1 =1\). Luego, \(z \in G_{[m:n]}\).

Otra forma de ver la igualdad es, en lugar de ver la segunda inclusión, contar los elementos de \(A\). Notar que al estar \(A \subset G_{[n:m]}\), si demostramos que \(|A| \geq [n:m]\), ya está. Les queda de tarea.

Hago un comentario off-topic:
traten de poner los ejercicios en topics separados así quedan como ejercicios diferentes y cada uno con su discusión

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"If debugging is the process of removing bugs, then programming must be the process of putting them in." -- Dijkstra

Posteado: Lun Jul 07, 2008 7:35 pm
Primero quise plantear el ejercicio 2 de los anteriores, porque era muy parecido al del parcial(de hecho, el del parcial era un caso particular). Vuelvo a escribir el enunciado y pongo la resolución que pensé: (...)

Preguntas bobas:

Aquí...

el K grande digamos, es para que todo te quede entre 0 y 2 Pi, verdad?

Puesto que yo mirando un poco la idea de lo que vos habías hecho, hice algo parecido pero no había tenido en cuenta ese término. Y con respecto a la aclaración... ¿viene a colación de esa parte de la demostración? Porque de ser así, no me quedó muy claro (y sepan disculpar mi ignorancia si eso es una obviedad...) por qué después no incluíste ese término en el resto de la demostración.

Gracias!

Voy a poner lo que pense yo:
Sean \(x \in G_n, y \in G_m \Rightarrow (x y)^{[n,m]}=x^{[n,m]} y^{[n,m]}= 1\) porque \(n,m|[n,m]\)
Con esto tenes una inclusion. Ahora la otra: tomo \(z\in G_{[n,m]}\)
Sea \(d=(n,m)\) Escribo \(1= s \frac{n}{d} +t \frac{m}{d}\)
Ahora \(z=z^1=z^{s \frac{n}{d} +t \frac{m}{d}}=z^{s \frac{n}{d}} z^{t \frac{m}{d}}\)
Para terminar veamos que \(z^{\frac{n}{d}} \in G_m\) pero esto es claro a partir de la igualdad \([n,m] (n,m) =n m\) y de que \(z^{[n,m]=1}\)

Gracias por las resoluciones, Yossarian y Quimey. Dra Q, en realidad, es un problema en cuanto a que no se escribir el signo de la relación de equivalencia; el K muestra que difieron en una cantidad de vueltas. Sin el K, está bien, solo que tenés que usar la relación de equivalencia \(aRb\Leftrightarrow a-b\eq=2\pi K, K\in\mathbb{Z}\). Igual, te recomiendo que miras las otras demostraciones antes que la mía, que es más cuentosa. Por otro lado, si alguien me dice como notar en el Tex eso que dije... agradecería.

\(\sim \simeq\) \sim y \simeq
Aunque recomiendo
http://tobi.oetiker.ch/lshort/lshort.pdf (si esto no anda busquen lshort = The Not So Short
Introduction to LATEX2)

y

www.toolscenter.org/

Lshort está muy bien, y Oetiker... cada vez que vean una implementación de MRTG: viene todo de la cabeza rara de ese tipo.

Una pregunta sobre el 1... Está bien decir esto?

Luego, Y esto pasa siempre porque ser parte de que \(z = \overline{z}\) Vale hacer esto?. Me suena feo para los n pares...

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La vuelta en general es falsa, porque elevar a la \(n\) no es inyectiva. Por ejemplo, tomá las raíces enésimas de la unidad; \({z}^{n}\eq=1\). Podés escribir \(z\eq=w+1\), y tenés:
\({(w+1)}^{n}\eq=1\). Luego, el conjugado \(\overline{z}\eq=\overline{w}+1\) es raíz enésima de la unidad, y si \(w\) no es real, no se verificará \(w\eq=\overline{w}\).