Sea \(w\neq 1,\;w\in {G}_{5}\). Probar que si w es raíz de \(f\eq=2{X}^{2n+2}+{x}^{2n}-2{X}^{2}-1\), entonces \(5|n\). Si \(v\in {G}^{6},\;v\neq 1\), ¿vale que 6|n?
Dado que \(w\in {G}_{5}\Leftrightarrow {w}^{5}\eq=1\), y es raíz de f, se cumple:
$$f(w)\eq=0\eq=2{w}^{2n+2}+{w}^{2n}-2{w}^{2}-1\eq={w}^{2n}(2{w}^{2}+1)-(2{w}^{2}+1)\eq=(2{w}^{2}+1)({w}^{2n}-1)$$
$$(2{w}^{2}+1)({w}^{2n}-1)\eq=0\Leftrightarrow 2{w}^{2}+1\eq=0\;\lor \;{w}^{2n}-1\eq=0$$
$$2{w}^{2}+1\eq=0\Leftrightarrow w\eq=\frac{\sqrt{2}}{2}i,\;w\eq=-\frac{\sqrt{2}}{2}i$$
Puesto que tales w no pertenecen a \({G}_{5}\)(es fácil de probarlo; fíjense que el 5 no da lindos valores de raíces de la unidad, y queda una raíz de 2...), este resultado es imposible bajo las hipótesis del problema. Estudiemos la otra condición...
$${w}^{2n}-1\eq=0\Leftrightarrow {w}^{2n}\eq=1$$
Notemos que w=1 satisface el problema, pero no está bajo hipótesis. Luego, notemos que si una saca al 1 de \({G}_{5}\), solo quedan las primitivas, que satisfacen que \({w}^{r}\eq=1\Leftrightarrow 5|r\). Luego... como w es una de tales primitivas, \({w}^{2n}\eq=1\Leftrightarrow 5|2n \Leftrightarrow 5|n\), que es lo que queríamos probar.
En cuanto a la otra parte del problema, valen las condiciones que se obtienen, y vale el resultado primero, es decir, \(\frac{\sqrt{2}}{2}i,\;-\frac{\sqrt{2}}{2}i\) no pertenecen a \({G}_{6}\). Ahora, en cuanto a la segunda condición, noten que si w no es primitiva de \({G}_{6}\), \(2n\eq=6k\), si n es múltiplo de de tres. Luego, 3|n satisface la condición, con lo cual no es necesario pedir 6|n.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities