Notemos que \(Re(z)\eq=0\Leftrightarrow {z}_{1}\eq=-{z}_{2}\) donde \({z}_{2}\) es el conjugado de \({z}_{1}\)(si alguien me dice como se pone conjugado de z, agradecería). Luego, (notaré conjugado \(\sigma (z)\), porque no se cómo notarlo...)
Ahora es decisiva la hipótesis de w, primitiva. En efecto, como \(w\eq=\cos(\frac{2\pi k}{10})+i\sin(\frac{2\pi k}{10})\), es primitiva si y solo si \((k:10)\eq=1\). Luego, los posibles valores de k son 1,3,7,9. Luego...
\({w}^{5}\eq=\cos(\frac{10\pi k}{10})+i\sin(\frac{10\pi k}{10})\eq=\cos(\pi k)+i\sin(\pi k)\). Puesto que k=1,3,7,9 resulta que \({w}^{5}\eq=-1\) (fíjense que quedan múltiplos impares de pi; el seno es modesto y no le importa la paridad, y los manda al 0; pero el coseno es discriminador y los manda al -1). Luego...
\(1+{w}^{5}\eq=0\), que conduce a lo que quería probar.
Concluyo que \(Re(w+{w}^{2}+{w}^{3}+{w}^{4})\eq=0\), que era lo que queríamos probar.
Como vi una gran ausencia de ejercicios de complejos resueltos, decidí postear uno. Espero haber ayudado. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Ahora es decisiva la hipótesis de w, primitiva. En efecto, como \(w\eq=\cos(\frac{2\pi k}{10})+i\sin(\frac{2\pi k}{10})\), es primitiva si y solo si \((k:10)\eq=1\). Luego, los posibles valores de k son 1,3,7,9. Luego...
\({w}^{5}\eq=\cos(\frac{10\pi k}{10})+i\sin(\frac{10\pi k}{10})\eq=\cos(\pi k)+i\sin(\pi k)\). Puesto que k=1,3,7,9 resulta que \({w}^{5}\eq=-1\) (fíjense que quedan múltiplos impares de pi; el seno es modesto y no le importa la paridad, y los manda al 0; pero el coseno es discriminador y los manda al -1). Luego...
\(1+{w}^{5}\eq=0\), que conduce a lo que quería probar.
Concluyo que \(Re(w+{w}^{2}+{w}^{3}+{w}^{4})\eq=0\), que era lo que queríamos probar.
Según mis apuntes, eso es inmediato si w es primitiva (porque \(w^i\) con \(0\leq i \leq n-1\) me genera los n elementos de \(G_n\)). Ahora, ¿qué pasa cuando no lo es? Hay que buscar alguna forma de mostrar que todos los \(w^i\) son distintos. Encontré una forma para mostrarlo en \(G_p\) con p primo. ¿Es válido también en general (es decir, para \(G_n\) con n natural)? ¿Hay alguna forma fácil de probarlo?
Nose si es lo que querías, pero en general, si \(w \in G_{n}\) es primitiva , \(w^{n}\) = \(1\) y entonces \(\sum_{k=0}^{n-1} w^{k}\) = \(\frac{w^{n} - 1}{w-1}\) = \(0\) .
No es necesario que w sea primitiva, solo que sea distinta de 1 para que no se anule el denominador, lo que pasa es que cuando es primitiva las potencias recorren todas las raices de la unidad y cuando no es primitiva no, pero la suma siempre da 0 (salvo que w=1 y entonces da n)
