Acá hago una contribución a estos ejercicios. Elegí este, porque era corto y podía llegar a traer alguna complicación(va, no se...)
$$\textrm{Hallar\;todos\;los}\;z\in\;\mathbb{C},\;\textrm{expresados\;en\;forma\;binomica\;tales\;que:}$$
$${z}^{2}+1\eq={(z-i)}^{7}\cdot (z+i)$$
Primero, notemos que si usamos la forma trigonométrica... nada. Si usamos forma binómica... nada(si quieren, escriban lo que queda; es desagradable...). Sin embargo, observemos que \({z}^{2}+1\eq=(z-i)\cdot (z+i)\). Sustituyamos...
$${z}^{2}+1\eq=(z-i)\cdot (z+i)\eq={(z-i)}^{7}\cdot (z+i)$$
Si z=i, o z=-i, notemos que la igualdad queda 0=0. Luego son soluciones(expresados en forma binómica) \(z\eq=0+i,\;z\eq=0+(-1)i\)
Si z no es alguno de esos valores, simplifico y queda:
$$1\eq={(z-i)}^{6}$$
Luego, resulta que me queda la raíz sexta de la unidad igualada a \({(z-i)}^{6}\). Como estas raíces son fáciles de calcular, queda en cada caso:
$$z-i\eq=1\;\Leftrightarrow z\eq=1+i$$
$$z-i\eq=-1\;\Leftrightarrow z\eq=-1+i$$
$$z-i\eq=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\;\Leftrightarrow z\eq=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}+2}{2}i$$
$$z-i\eq=\frac{1}{2}+\frac{-\sqrt{3}}{2}i\;\Leftrightarrow z\eq=\frac{1}{2}+\frac{-\sqrt{3}+2}{2}i$$
$$z-i\eq=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\;\Leftrightarrow z\eq=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}+2}{2}i$$
\(z-i\eq=\frac{-1}{2}+\frac{-\sqrt{3}}{2}i\;\Leftrightarrow z\eq=\frac{-1}{2}+\frac{-\sqrt{3}+2}{2}i\)
El ejercicio en si es fácil, pero lo desagradable sería perder puntos por no ponerlo en la ''forma binómica'' adecuada, pues esta es\(a+bi\). Si ponen \(1-2i\) deberían escribir \(1+(-2)i\). Si ponen \(3i\) debería ser \(0+3i\) La verdad no se si por esto pueden descontar, pero por las dudas... espero haber sido claro con la resolución y no haber cometido errores. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities