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6 - Libro Gentile - Apendice

1 respuestas 4449 visitas 2009-08-27

#1 _gaston_ 2009-08-27 18:33

Hola, este lo encontré en el libro Notas de Álgebra de Gentile, pude hacer la primer parte, pero me trabé en la segunda parte..

A = \{x/x \in \mathbb{R}\ y\ \exists\ a,b\in \mathbb{Z} /\ x= a+b\sqrt{2} \}

O sea A es el conjunto de los x de la pinta \(a+b\sqrt{2}\), con a y b enteros..

La parte que no me sale dice así:

Es cierto que si $x \in A $ y $ x \neq 0 $ entonces $ x^{-1}\in A$?

yo lo traté de hacer así:
\(x.x^{-1}=1\)

x = a+b\sqrt{2}

x^{-1}=c+d\sqrt{2}

(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=1

(a.c+2.b.d)+(a.d+b.c)\sqrt{2}=1

\left\{\begin{matrix}a.c+2.b.d=1 \\ a.d+b.c=0\end{matrix}\right.

Y ahi me trabo...
si pienso que a y b son datos, entonces la ecuación de abajo es una diofántica que tiene solución porque cualquier número divide a cero, y la primera?

#2 exequiel131719 2009-08-27 18:46

Yo trataría probando el siguiente resultado previo:
Si\(x\eq=a+b\sqrt{2}\), la escritura es única, vale decir, si \(x\eq=c+d\sqrt{2}\) entonces \(a\eq=b\) y \(c\eq=d\).
Fijate que \(2\in \mathbb{Z}\) y está en \(A\). Uno sabe, que cuando extiende a \(\mathbb{Q}\) el inverso es \(\frac{1}{2}\) y no está en \(A\). En efecto:
Llamando \(\frac{1}{2}\eq={2}^{-1}\eq=a+b\sqrt{2}\)[/Tex] debería tenerse:

2\cdot {2}^{-1}\eq=2\cdot (a+b\sqrt{2})\eq=2a+2b\sqrt{2}\eq=1

Por el resultado previo que dije, se tiene que:

2b\sqrt{2}\eq=0\iff b\eq=0

2a\eq=1

Pero no existe un entero \(a\) que verifique esto. Luego, \(2\) no tiene inverso en \(A\)

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities