Factorizar en Q, R y C el polinomio \(x^6 + x^5 + 5x^4 + 6x^3 + 3x^2 + 9x -9\) sabiendo que tiene dos raíces cuya suma es 0 y cuyo producto es 3.
Usando que X1 * X2 = 3 y X1 + X2 = 0 llego a que \(X^2+3\) divide al polinomio.
Lo divido y me queda \(f = (x^2 +3) (x^4 +x^3 + 2x^2 + 3x -3)\)
usando el metodo de Gauss tengo que \((x^4 +x^3 + 2x^2 + 3x -3)\) no tiene raices racionales (las cuatro posiblidades no son raices.
Entonces está racionalizado en Q, pero no tengo ni idea de como racionalizar lo que queda en R (aunque \((x^2 + 3)\) sí se puede racionalizar en C facilmente).
¿Alguna idea de como seguir racionalizando?
Tema
[No Resuelto] 22/12/04 - Recuperatorio - Ejercicio 5
Lo único que se me ocurre ahora es derivar y fijarte si tiene alguna raíz múltiple.
Firma
$$\bigstar Sofi \bigstar$$
$$f=(x^2+3)(x^4+x^3+2x^2+3x-3)=(x^2+3)(x^2+3)(x^2+x-1)$$
Y el último factor solo tenes que resolver la cuadrática, si haces lo que dijo Sofía llegas a que el factor \(x^2+3\) aparece dos veces.
Otro idea útil es buscar un polinomio cuadrático de coeficientes enteros que divida al que tenías, eso en general no funciona, pero suponiendo que el polinomio es lindo sirve bastante
Firma
Daniel
Gracias. Efectivamente se resuelve buscando raices múltiples.