Hola, lo que intente hacer fue igualar \(1+i\) al resto del polinomio que tiene la forma \(ax^3+bx^2+cx+d\) evaluado en \(i\)
y al resto derivado \(3ax^2+2bx+c\) evaluado en \(-i\) lo igualo a -3, las raices \(i,-i\) del cociente son dobles pero nose a que igualarlas para tener 4 ecuaciones y despejar. Si es que se puede hacer asi.
Decís que \(m(x) = x^4 + 2x^2 + 1, f = mq + r\). Tu \(r\) tiene grado menor a 4. Entonces, \(r(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), con \(a, b, c, d \in \mathbb{R}\), pues \(\mathbb{R}[X]\) es cerrado bajo división.
(Si podés hacerlo con esto solo, hacelo, lo que viene abajo es la respuesta quemada)
\(r(i) = -ai -b + ci + d = 1 + i\). Como las constantes son reales, puedo separar las partes reales de las imaginarias.
\((-a+c) = 1, (-b+d)=1\).
Veamos \(f'\). Si \(f(x) = mq+r\), entonces \(f' = m'q + mq' + r'\). Afortunadamente, \(-i\) también es raíz de \(m'\). Entonces \(f'(-i) = r'(-i)\).
Si \(r(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), entonces \(r'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\). Sabemos que \(r'(-i) = -3\). Entonces \(r'(-i) = -3a - 2bi + c = -3\). Ya vemos que \(b=0\), dado que \(-3 \in \mathbb{R}\). También encontramos que \(-3a + c = -3 \iff c = -3 + 3a = 3(a-1)\).
Con esto, vamos a las ecuaciones de arriba.
Si \(b = 0\) y \(-b+d=1\), entonces \(d = 1\).
Si \(c = 3(a-1)\) y \(-a+c=1\), entonces \(-a + 3(a-1) = 1 \iff 2a + 1 = 1 \iff a = 1\).
Entonces si \(a=1\) y \(-a+c=1\), entonces \(c=2\).
Entonces el resto es \(r(x) = x^3+2x+1\).
Fijate si tiene sentido.
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Queria decir una cosa, yo hice el ejercicio pero a mi me dio a=2 y c=3, fijate que si a=1 no cumple las ecuaciones porque c tendría que valer 2 y 0 al mismo tiempo
Con esto, vamos a las ecuaciones de arriba.
Si \(b = 0\) y \(-b+d=1\), entonces \(d = 1\).
Si \(c = 3(a-1)\) y \(-a+c=1\), entonces \(-a + 3(a-1) = 1 \iff 2a + 1 = 1 \iff a = 1\).
Entonces si \(a=1\) y \(-a+c=1\), entonces \(c=2\).
Entonces el resto es \(r(x) = x^3+2x+1\).
Fijate si tiene sentido.
laion escribió:
Queria decir una cosa, yo hice el ejercicio pero a mi me dio a=2 y c=3, fijate que si a=1 no cumple las ecuaciones porque c tendría que valer 2 y 0 al mismo tiempo
despejo mal la a en el ultimo paso, quedar'ia asi:
Si \(c = 3(a-1)\) y \(-a+c=1\), entonces \(-a + 3(a-1) = 1 \iff 2a + 3 = 1 \iff a = 2\).
Entonces si \(a=2\) y \(-a+c=1\), entonces \(c=3\).