$$Factorizar\%20en\%20\mathbb{R}(x),\mathbb{C}(x)\%20y\%20\mathbb{Q}(x)\%20el\%20polinomio\%20X^5-\frac{3}{2}X^4-\frac{5}{2}X^3-\frac{5}{2}X^2+1\%20sabiendo\%20que\%20tiene\%20tres\%20raices\%20\alpha ,\beta ,\gamma\in\mathbb{C}\%20que\%20verifican:\%20\alpha \beta \gamma =-1,\%20\alpha +\beta +\gamma =\frac{5}{2}\%20y\%20\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma =-1$$
Con los datos que me dan de las raices y los que se por los coeficientes del polinomio tengo que la suma de dos de sus raices es -1 y la multiplicacion es 1, entonces una raiz va a ser \(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2}\) y la otra su conjugado pero desde ahi nose como despejar las otras 3 raices, si alguien me puede ayudar.
Tema
[No Resuelto]Ej 6-Rec 2do P
Hola!!
yo sé que es re tarde pero bueno...
a ver si te sirveComo ya tenés dos raices, etonces el polinomio original es divisible por \((X-(\-frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2}))(X-(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}i}{2}))=X^2+X+1\)
Al hacer la división te queda, si P es el polinomio del ejercicio, \(P=Q.(X^2+X+1)\) Pero Resulta que Q tiene por raíces a \(\alpha\),\(\beta\) y a \(\gamma\) asi que podés usar los datos que te dan para hallarlas. En definitiva:
$$P=(X^3-\frac{5}{2}X^2-X+1)(X^2+X+1)$$
DEl 2do factor ya sabés las raíces. DEl primero sabés que sus raíces son alfa beta y gamma, así que podes isar las fórmulas para sacarlas, aplicándolas al 1r factor nada más. LISTO
Después solo te queda factorizar en cada anillo y ya.