Pura lógica.
Sabemos de antemano que podemos escribir a cualquier \(n \in \mathbb{N}\) como \(\prod_{i=0}^k {p_i}^{\alpha_i}\), para algunos primos \(p_i\) y algunos naturales \(\alpha_i\). También sabemos (bah, yo me enteré un día antes del parcial gracias a un post de exequiel131719) que si \(n = {p_1}^{\alpha_1} \cdot {p_2}^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot {p_k}^{\alpha_k}\), entonces la cantidad de divisores positivos de \(n\) es \(\sigma(n) = (\alpha_1 + 1)\cdot(\alpha_2 + 1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_k + 1)\).
Sabiendo esto, y agradeciéndole a Dios por darme internet un día antes del parcial, veamos en que nos puede ayudar.
Sabemos que \((2^2 \cdot 37 \cdot n : 2^{25} \cdot 7^2 \cdot 37^{10}) = 2^2 \cdot 7 \cdot 37^{10}\). Pero si \(2^2\) es la máxima potencia de 2 que tienen en común \(2^2 \cdot 37 \cdot n\) y \(2^{25} \cdot 7^2 \cdot 37^{10}\), entonces \(n\) no puede tener un 2, ya que de otra forma por lo menos el MCD sería múltiplo de \(2^3\).
Ahora, vemos que también \(2^2 \cdot 37 \cdot n\) y \(2^{25} \cdot 7^2 \cdot 37^{10}\) "tienen en común" \(37^{10}\). Del lado izquierdo, hay un solo 37, entonces quién está aportando los otros 9 para el MCD? Tiene que ser n. Osea, \(37^9 \mid n\). No sabemos si hay una potencia mayor, ya que si la hubiera, no habría suficientes 37 del lado derecho como para balancear (esto está todo en el aire, pero se vé, no? Si no solo pidan y aclaro un poco más lo que quiero decir con esto).
Por último, sabemos que el lado izquierdo es divisible por 7, pero no puede ser divisible por \(7^2\), ya que si nó, \(7^2\) dividiría a ambas expresiones, y por lo tanto sería parte del MCD. Entonces, como la única cosa que puede ser divisible por 7 en el lado izquierdo es \(n\), \(7 \mid n \land 7^2 \nmid n\).
Entonces ahora sabemos que \(n\) se tiene que escribir de la siguiente forma:
\(n = 7^1 \cdot 37^{\alpha_2} \cdot Q\), con \(Q \in \mathbb{N}\), y \(\alpha_2 \ge 9\).
Pero ya esto nos da toda la información que necesitamos. Veamos por que:
Calculemos sigma (cantidad de divisores positivos) de n, en este estado, asumiendo un \(\alpha_2\) mínimo:
Ahora, si Q no es primo y existe, no hay solución, porque ya nos pasamos, aún con un \(\alpha_2\) mínimo. Entonces la otra opción es que Q no exista (o en realidad, sea 1, que es lo mismo). Entonces tendríamos
\(n = 7 \cdot 37^{\alpha_2}\). Pero si queremos que tenga 40 divisores, \(\sigma(n) = (1+1)\cdot(\alpha_2 + 1) = 40 \iff 2\alpha_2 + 2 = 40 \iff \alpha_2 = 19\). Entonces la otra forma posible para \(n\) es
Y listo.
Firma
Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.