Ejercicio 2 Sea \(B\) el conjunto de los primeros \(150\) primos positivos. Se eligen primos de este conjunto con repeticion y se multiplican para obtener el numero \(n\). a) Cuantos \(n\) distintos pueden obtenerse que terminen en cero y tal que \(p^4\) no divida a $n$ para ningun primo?
Por el teorema fundamental de la aritmética se que puedo acomodar a los 150 primos positivos en orden, y asignarles exponentes \(n\in{\mathbb{N}_{0}}\) tal que la multiplicación de estos números me de distintos números.
Luego yo se que a cada exponente no puedo ser mayor a 3, pues si el primo tuviese un exponente mayor habría entonces un primo \(p^4\) que dividiría al n
Entonces a cada número primo puedo asignarle exponente 0,1,2 o 3
Me quedan cuatro exponentes para el primero, cuatro para el segundo, y así hasta el primo 150
\(4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\) son \(4^{150}\) números que puedo formar con estos primos positivos.
Pero ahora me pide además que el último número tiene que ser igual a 0
esto (si no me equivoco), ocurrirá cuando entre los primos multiplicándose se forme el 10. Es decir, si tengo al 5 y al 2 o un múltiplo de ellos, ya el número terminará en cero. Pues 10 por cualquier número le aumenta una decena, y el número termina en cero. Y si hago 25 (múltiplo de 5) por 18 (múltiplo de 2), sería igual a hacer \(5\cdot 5\cdot 2\cdot 9=5\cdot 10\cdot 9=450\)
Entonces, ahora de todos los números que formé, me interesan solo los que tienen al número primo 2 y al 5 con exponentes distintos de cero. Por lo cual para el 5 y el 2 tendré solo 3 exponentes, 1,2,o 3
Luego sería \(3\cdot 3\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot .....4=3^2\cdot 4^{148}\)
b Cuantos \(n\) distintos pueden obtenerse que tengan exactamente 45 divisores positivos?
Ahora la parte b me pide que n tenga exactamente 45 divisores positivos. A cada divisor puedo también factorisarlo en primos, tal que su escritura sea única.
Ahora yo tengo 150 números primos otra vez ordenados y se que asignaré exponentes acada primo hasta que la suma de los exponentes asignados me de 45, y al resto de los primos les asignaré el cero como exponente.
Ahora tengo una cantidad limitada de exponentes para asignar. Voy a pensar los exponentes como bolitas indistinguibles y cada núero primo como una cajas. Luego, usando bosones distribuiré los exponentes entre los números primos.
"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
La cantidad de divisores positivos de un número, una vez conocida su factorización por primos positivos, se calcula como el producto de sus exponentes mas uno cada uno. O sea, si \(n\eq= sgn(n){{p}_{1}}^{{a}_{1}}\cdots {{p}_{n}}^{{a}_{n}}\) resulta ser la cantidad de divisores positivos \(({a}_{1}+1)({a}_{2}+1)\cdots ({a}_{n}+1)\)(para el primer primo tenés entre el 0 y \({a}_{1}\) para elegir, para el segundo...). Esto te dice que si tenés \(45\) divisores positivos, al ser \(45\eq=9\cdot 5\), puede ocurrir:
a-haya un primo \(p\) tal que \({p}^{4}|n\) y no \({p}^{5}\).
b-que sea \(n\eq={p}^{44}\)(hay tenés justamente 45 divisores).
Si vemos a-, solo tenemos que elegir un primo \(p\). Si seguimos b-, en base a que nos queda un factor \(9\), y \(9\eq=3\cdot 3\), pueden solo ocurrir:
-o que haya un solo primo \(q\) tal que \({q}^{8}|n\) y no \({q}^{9}\)
-o que haya dos primos \(q,q'\) tales que \({q}^{2}|n,{q'}^{2}|n\) pero \({q}^{3},{q'}^{3}\) no.
Esto nos dice que todos los casos que tenemos son:
-\(n\eq={p}^{44}\)
-\(n\eq={p}^{4}{q}^{8}\)
-\(n\eq={p}^{4}{q}^{2}{q'}^{2}\)
(Estoy usando en que \(5\) es primo, luego solo se factoriza como \(9\eq=1\cdot 5\). Esto quiere decir que no puede tener primos de potencias más chicas que 4, sin contar los eventuales \(q,q'\) de después.
Contando los primeros y sumando los segundos(son casos disjuntos) tenés la cantidad que se buscaba.
Espero que se haya entendido lo que señalaba(me parece bastante confuso lo que escribí, pero la idea es sencilla). Si los exponentes suman entre todos exactamente \(45\), no se verifica el enunciado. \(n\eq={p}^{45}\) tiene 46 divisores positivos con p primo, y la suma de los exponentes es exactamente 45.
Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
El signo de \(n\). O sea, si \(n\) es un entero distinto de 0, la factorización es única si admito \(n\eq= sgn(n)\cdot {{p}_{1}}^{{a}_{1}}\cdots {{p}_{n}}^{{a}_{n}}\). De esta maner podés elegir la factorización con primos todos positivos. Perdón; terminó confundiendo.
ahhhhhhhhhh jajajja, okis, igual no me cierra todo el ejercicio aun. Mejor le digo a Stanis que me lo explique en persona el viernes que así es más fácil de entender =P
Gracias igual exe ^^
Pongo un caso más sencillo. Suponete que tenés los primeros 3 primos \(2,3,5\) y te preguntás lo de \(B\). Entonces \(n\eq={2}^{a}{3}^{b}{5}^{c}\). Uno sabe que la cantidad de divisores positivos es \((a+1)(b+1)(c+1)\)(o sea, para 2 puede elegir la potencia 0, 1, 2, ..., \(a\), para 3 0, 1, ..., \(b\), y lo mismo para el 5). Ahora, tenés \((a+1)(b+1)(c+1)\eq=45\). Como:
$$45\eq=45\cdot 1\cdot 1$$
$$45\eq=9\cdot 5\cdot 1$$
$$45\eq=3\cdot 3 \cdot 5$$
tenés que todas las descomposiciones por 3 números naturales de 45 son esas. De acá correspondes cada \(a+1,b+1,c+1\) con alguno de los factores en cada caso, y salen las potencias que había elegido antes. En el caso del ejercicio, es lo mismo, pero pensándolo de manera más general. Espero que contribuya a aclarar esto. Saludos.
Es decir, la factorizacion se forma con \({a}^{14} . {b}^{2}\). Selecciono un numero \({a}\) entre 150 para elevar a la 14 y un \({b}\) entre 149 restantes para elevar al cuadrado. (150 * 149)
Es decir, la factorizacion se forma con \({a}^{8} . {b}^{4}\). Selecciono un numero \({a}\) entre 150 para elevar a la 8 y un \({b}\) entre 149 restantes para elevar a la cuarta: (150 * 149)
Es decir, la factorizacion se forma con \({a}^{4} . {b}^{2} . {c}^{2}\). Selecciono un numero \({a}\) entre 150 para elevar a la cuarta, un \({b}\) entre 149 restantes para elevar al cuadrado y un numero \({c}\) entre 148 restantes para elevar al cuadrado: (150 * 149 * 148)
Por lo tanto, las posibilidades que tengo son:
\((150) + (150 * 149) + (150 * 149) + (150 * 149 * 148)\)
Siento que hice cualquier cosa jaja, por favor diganme!
me parece que esta bien, no estoy seguro que hayas chequeado todas las posibilidades de escribir al 45 como producto de cosas, pero si lo hiciste, deberia estar bien.