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Tema

[Resuelto (a revisar)] 21/12/05 Ej.3- 1er P

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#1 Frangipani

**Ejercicio 3. **¿De cuántas maneras se pueden colocar 15 bolitas rojas indistinguibles y 19 bolitas
verdes numeradas en 10 cajas distintas con la condición de que en cada caja haya al
menos una bolita roja y en la tercera caja haya por lo menos 4 bolitas verdes?

Como pongo una bolita roja en cada caja para que haya al menos una por caja, me quedan 5 bolitas por distribuir en 10 cajas

$$\left(\begin{matrix}5+10-1 \\ 5\end{matrix}\right)$$

Las verdes tengo que poner al menos 4 bolitas en la tercer caja y el resto las puedo permutar. Las cuatro bolitas como son númeradas tengo que elegirlas, entonces para no repetir casos con las verdes cuento el total y le resto esos en los que hay 3, 2 , 1, o 0 bolitas en la tercer caja
El total eran \(10^{19}\) y los casos que debo restarle son:

0 en la tercer caja: \(9^{19}\)
1 en la tercer caja:

$$\left(\begin{matrix}19 \ 1\end{matrix}\right)$$
para elegir una de las 19 que ira en la tercer caja. Entonces:
$$9^{18}\left(\begin{matrix}19 \ 1\end{matrix}\right)$$

2 en la tercer caja:
$$9^{17}\left(\begin{matrix}19 \ 2\end{matrix}\right)$$

3 en la tercer caja:
$$9^{16}\left(\begin{matrix}19 \ 3\end{matrix}\right)$$

Entonces, las verdes quedan:

$$10^{19}-[9^{19}+9^{18}\left(\begin{matrix}19 \\ 1\end{matrix}\right)+9^{17}\left(\begin{matrix}19 \\ 2\end{matrix}\right)+9^{16}\left(\begin{matrix}19 \\ 3\end{matrix}\right)]$$

Y el total si no me equivoco sería:

$$\left(\begin{matrix}5+10-1 \\ 5\end{matrix}\right)\cdot\{10^{19}-[9^{19}+9^{18}\left(\begin{matrix}19 \\ 1\end{matrix}\right)+9^{17}\left(\begin{matrix}19 \\ 2\end{matrix}\right)+9^{16}\left(\begin{matrix}19 \\ 3\end{matrix}\right)]\}$$
Firma

"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde

#2 fisasti

Lo hice y me dio lo mismo, creo que está perfecto =)

Fijate el que posteé yo.

#3 Frangipani

ay, no lo vi! ^^Uu Perdon, ahora lo busco =P

#4 The Pulp

Hola que tal? quisiera hacer una consulta porque la parte de las bolitas numeradas verdes lo pensé de otra forma pero tambien sé que de la forma que lo hiciste está bien por lo tanto no logró entender donde está mi error.

La parte de las bolitas rojas lo hice de la misma forma.
Y la parte de las bolitas verdes numeradas lo pense asi:
1ero pongo las formas de elegir 4 bolitas verdes numeradas para luego ponerlas en la 3era caja. Después reparto las 19-4=15 bolitas verdes numeradas que me quedaron entre las 10 cajas.

\(\dbinom{5+10-1}{5}\) * \(\dbinom{19}{4}\) * \(10^{15}\)

Gracias de antemano.

#5 Quimey

Estás contando casos de más, pensá un ejemplo con 2 cajas y 4 pelotas con la restricción de que en la primer caja tiene que haber por lo menos una pelota. Compará las dos formas de contar y fijate porque está mal.

Firma

Quimey

#6 The Pulp

Quimey escribió:

Estás contando casos de más, pensá un ejemplo con 2 cajas y 4 pelotas con la restricción de que en la primer caja tiene que haber por lo menos una pelota. Compará las dos formas de contar y fijate porque está mal.

Muchas gracias Quimey, tengo que acostumbrarme fuertemente a llevar estos ejercicios a ejemplos mas chicos para darme cuenta de estos errores.

Saludos.