Sea A la colección de los n enteros tales que \(n = 3^{a}+3^{b}\) con \(1 \leq a,b \leq 100\) a, b naturales.
¿Cuál es la probabilidad de que un número n elegido de tal manera sea divisible por 5?
Aquí pongo mi resolución:
Para considerar la probabilidad debemos conocer dos cosas: casos totales y casos particulares.
Empiezo con Casos totales
Es fácil ver que n es un número desarrollado en base 3, o sea:
Si a = b entonces \(n = 2 (3^{a})\)
Si \(a \neq b\) entonces es como un número desarrollado en base 3, con dos dígitos en 1 separados por algunos cuantos ceros... dependerá de la elección de a y b.
Lo que a mí me importa descartar la elección inversa de los pares. O sea, si considero el par (a,b) no quiero contar el par (b,a) pues por la forma que está definido el n, serían el mismo número.
Luego el cálculo para los pares (a,b) con b distinto de a \(\frac{100*100 - 100}{2}\) o sea \(\frac{100*99}{2}\)
y a eso les sumo los pares (a,a) que serían 100, pues a puede tomar 100 valores distintos. Luego los casos totales serían \(100+ \frac{100*99}{2}\)
Veamos los casos particulares
Bien, sabemos que \(3^{4}\equiv 1 (mod\, 5)\)
Entonces podemos dividir a \(a\) y a \(b\) por 4, de manera tal de que nos quedan casos finitos y con el truco de que me van a quedar cosas congruentes a 1.
Luego \(a = 4a'+r_{a}\) y \(b = 4b'+r_{b}\) con \(r_{a}\) y \(r_{b}\) enteros entre 0 y 3, y a', b' enteros también.
Veamos cómo nos queda la fórmula reemplazando:
Luego quiero que \((3^{4})^{a'}3^{r_{a}}+(3^{4})^{b'}3^{r_{b}}\equiv 0 (mod \, 5)\) pero \(3^{4}\equiv 1 (mod\, 5)\)
Entonces \((3^{4})^{a'}3^{r_{a}}+(3^{4})^{b'}3^{r_{b}}\equiv 1^{a'}3^{r_{a}}+1^{b'}3^{r_{b}} \equiv 3^{r_{a}}+3^{r_{b}} (mod\, 5)\)
Pero yo sé qué valores puede tomar \(r_{a}\) y \(r_{b}\)
Luego si \(r_{a}= 0\) entonces \(3^{0} \equiv 1 (mod \, 5)\)
Luego si \(r_{a}= 1\) entonces \(3^{1} \equiv 3 (mod \, 5)\)
Luego si \(r_{a}= 2\) entonces \(3^{2} \equiv 4 (mod \, 5)\)
Luego si \(r_{a}= 3\) entonces \(3^{3} \equiv 2 (mod \, 5)\)
Ídem con \(r_{b}\)
Luego las posibilidades donde la suma de los dos términos es divisible por 5 serían
A) o bien \({3^{r_{a}} \equiv 1 (mod \, 5)\) y \({3^{r_{b}} \equiv 4 (mod \, 5)\)
B) o bien \({3^{r_{a}} \equiv 3 (mod \, 5)\) y \({3^{r_{b}} \equiv 2 (mod \, 5)\)
Sabemos que entre 1 y 100 tenemos 25 números congruentes a 0 módulo 4, ídem congruentes a 1, ídem a 2, y a 3 también. (Esto se puede demostrar con la definición de congruencia...o si tuviera una hoja grande los cuento a mano 😛)
Luego la cantidad de conjuntos para el caso A es\(25*25\).
y para el caso B es el mísmo cálculo.
**Luego su suma da 25*25*2, que serían la cantidad de casos particulares.**
Bastaría con dividir los casos particulares sobre los totales para obtener la probabilidad.
Puedo ser más claro aún, pero,... tengo que ir a almorzar y quería liquidar el ejercicio 😄
Quien quiera corroborar el ejercicio.... tengo alguna intuición que me dice que está bien, pero, si alguien se toma el trabajo de mirarlo y decirme qué tal está....
Saludos y gracias
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Es un lindo ejercicio. Propongo una pequeña variante. Cuál es la probabilidad de que un número de la forma \(3^a + 3^b\) se divisible por \(5\) (sin restricciones sobre \(a\) o \(b\))
Una manera más fácil de descartar casos es pedir que \(a \leq b\) (y es obvio que si son iguales, no es divisible por \(5\), así que podés pedir \(a < b\)). Tu número de casos totales está bien calculado.
Ahora, como \(a<b\), \(3â + 3^b=3^a(1+3^{b-a})\). Como \(5\) es coprimo con \(3\), debe ser \(5 \mid (1+3^{b-a})\). De tu observación se deduce que \(3^{b-a} \equiv -1 \mod 5\) si y solo si \(b-a \equiv 2 \mod 4\). Basta encontrar los pares \((a,b)\), con \(a<b\) y \(b \equiv a + 2 \mod 4\). Hay una manera linda de hacer esta cuenta, te la dejo pensar a vos como ejercicio de combinatoria 🙂.
Es un lindo ejercicio. Propongo una pequeña variante. Cuál es la probabilidad de que un número de la forma \(3^a + 3^b\) se divisible por \(5\) (sin restricciones sobre \(a\) o \(b\))
Una manera más fácil de descartar casos es pedir que \(a \leq b\) (y es obvio que si son iguales, no es divisible por \(5\), así que podés pedir \(a < b\)). Tu número de casos totales está bien calculado.
Ahora, como \(a<b\), \(3â + 3^b=3^a(1+3^{b-a})\). Como \(5\) es coprimo con \(3\), debe ser \(5 \mid (1+3^{b-a})\). De tu observación se deduce que \(3^{b-a} \equiv -1 \mod 5\) si y solo si \(b-a \equiv 2 \mod 4\). Basta encontrar los pares \((a,b)\), con \(a<b\) y \(b \equiv a + 2 \mod 4\). Hay una manera linda de hacer esta cuenta, te la dejo pensar a vos como ejercicio de combinatoria 🙂.
Muy interesante, basicamente te queda que la probabilidad es \(\frac{n}{4n+4}\) (n siendo el maximo valor que pueden tomar a y b) no? salvo que me haya mandado alguna cagada en algun lugar. Ps: holaa chicos, soy max 😛
XDDD posteaste tres veces maca jajajaja
Hola nenis, te hice caso y pase por el foro, está bueno
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"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
