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Tema

[Resuelto] 05/08/2009 - Ej 4 - 1er P - 1er R

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#1 FJL
$$\textrm{Hallar todos los $a$ y $b$ en $\mathbb{N}$ coprimos tales que}$$
$$\frac{7}{a} + \frac{5a+b}{2b} \in \mathbb{N}$$

Lindo ejercicio. No muy largo, no muy corto. Perfecto para ricitos de oro.
Esto es lo mismo que probar que \(\frac{14b + 5a^2 + ab}{2ab} \in \mathbb{N}\), o lo que es lo mismo (dado que queremos que \(a, b \in \mathbb{N}\)), \(2ab \mid 14b + 5a^2 + ab\). O, lo que es lo mismo y aún más cómodo, \(14b + 5a^2 + ab \equiv 0 \pmod{2ab}\).

Como sabemos,

$$n \equiv m \pmod{pqr} \iff \begin{cases} n \equiv m \pmod{p} \ n \equiv m \pmod{q} \ n \equiv m \pmod{r}\end{cases}$$

Entonces, que nos pide cada ecuación?

$$14b + 5a^2 + ab \equiv 0 \pmod{a}$$
$$14b \equiv 0 \pmod{a}$$
Como sabemos que \((a:b)=1\), entonces \(a\mid 14\). Como \(a \in \mathbb{N}\), esto nos dice que \(a \in \{1,2,7,14\}\).
$$14b + 5a^2 + ab \equiv 0 \pmod{b}$$
$$5a^2\equiv 0 \pmod{b}$$
Pero como sabemos que \((a:b)=1\), entonces \(b\nmid a^2\), entonces \(b\mid 5\). Esto nos dice que \(b \in \{1,5\}\).
$$14b + 5a^2 + ab \equiv 0 \pmod{2}$$
$$a(a+b) \equiv 0 \pmod{2}$$
Lo cual nos dice que o a es par, o a+b es par. Como se tienen que cumplir todos los requerimientos, esto me indica que:
  • o \(a \in \{2, 14\}\)[/*:m]
  • o \((a,b) \in \{(1, 1), (1, 5), (7, 1), (7, 5)\}\)[/*:m]

Los (a,b) que ya encontramos, los encontramos. Ahora, nos queda el "\(a \in \{2, 14\}\)" que nos sirve, pero no sin procesar. Veamos que nos dice esto sobre b:

  • \(a = 2\):
    Reemplazo en la ecuación de arriba: \(\frac{16b + 20}{4b} = \frac{4(4b + 5)}{4b} = \frac{4b + 5}{b}\)
    Para que esto sea natural, \(b\mid 4b + 5\). Pero esto es lo mismo que decir que \(b\mid 5\), entonces \(b \in \{1, 5}\). Entonces ambos sirven, \((2, 1)\) y \((2, 5)\).[/*:m]
  • \(a=14\):
    Mismo:\(\frac{14b + 5(14)^2 + 14b}{2ab} = \frac{14b + 980 + 14b}{28b} = \frac{b + 35}{b}\)
    Entonces \(b\mid 35\), y \(b \in \{1, 5, 7, 35\}\).
    Pero sabemos que a y b tienen que ser coprimos, entonces 7 y 35 se van.[/*:m]

Entonces, finalizando:
De "a+b par" sacamos las tuplas (1, 1), (1, 5), (7, 1), (7, 5).
De "a=2" sacamos (2, 1), (2, 5).
De "a=14" sacamos (14, 1), (14, 5).

Y esas son todas las formas. Las podemos revisar, y todas cumplen la propiedad pedida.

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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.

#2 Floreal Ruíz

Soy un pelotudo, hice todo bien puse que \(a\) divide a \(1,2,7\) PERO NO PUSE \(14\) QUE BOLUDOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO!
[Inserte su comentario "Sos un boludo" en el siguiente post]

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Hoy esta muerto y con él, cuanta memoria se apaga...

#3 Spancavil

Genio!
Igual yo no puedo hablar nada, tengo examen el viernes, y todavía estoy descifrando congruencia.
(o sea genio a la n)