[Resuelto] Primer Parcial - 27/07/01. Ej 5

\(\textrm{Probar que no existe $a \in \mathbb{Z}$ tal que el resto de dividir $a^3+1$ por $a^2-1$ sea $a-8$}\).

Yo opté por primero probar algo mas fuerte: sabiendo que todo número es congruente a su resto, módulo algo, voy a probar el caso más general:

(Porque si \(a - 8\) es un resto, esto se cumple)

Yo se que \(a^2 - 1 = (a+1)(a-1)\), entonces \(a \equiv b \pmod{a^2 -1} \iff a \equiv b \pmod{a+1} \land a \equiv b \pmod{a-1}\).
También es fácil ver que una raíz de \(a^3 + 1\) es -1, entonces puedo dividir los polinomios para quedarme con que \(a^3 + 1 = (a+1)(a^2 - a +1)\).
Pero entonces

Pero sé que para todo \(a \in \mathbb{Z}\), \(a \equiv -1 \pmod{a+1}\). Entonces Entonces tiene que pasar que \(a+1\mid 9\), entonces \(a+1\) tiene que estar en \(\{1, -1, 3, -3, 9, -9\}\). Pero acá freno con el caso general - hasta acá se que una condición necesaria para que mi caso se cumpla es que a tiene que ser uno de esos. El problema también me dice que \(a-8\) es un resto de algo...pero un resto nunca puede ser negativo! Entonces el único \(a+1\) posible es 9, y nos fijamos que pasa en este caso.

Reemplazando
\(8^3 + 1 = 513\), pero \(8^2 -1 = 63\), y \(513 = 63 \times 8 + 9\), y por la unicidad del resto, no puede ser 9 y 0 al mismo tiempo.

Por lo tanto, el caso general nos dijo que, si existe, tenía que estar en \(\{1, -1, 3, -3, 9, -9\}\), el caso particular nos dijo que \(a \ge 8\), y probamos a mano que 9 no vale.
Por lo tanto, no existe tal \(a\).

Firma

Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.