Repueratorio Primer Parcial - Tema 1 2003

Tengo una duda con este ejercicio, no se si esta bien resuelto:
Hallar todas las soluciones módulo 16 de la ecuacion:

Yo lo que plantie fue lo siguiente:
Dividi a todo por 2, entonces me queda:
\(5X \equiv 4 (8)\) y como 5 es coprimo con 8 me queda: \(X \equiv 4 (8)\) y ahi me quedaria todas las soluciones que me piden. Mi duda es si esta bien resuelto o no? Si esta mal, como seria🙂

Lo que no me queda del todo claro es el ultimo paso, yo lo terminaria asi:
Tengo \(5 X\equiv 4 (8)\) y quiero \(X\equiv \text{algo} (8)\), lo que voy a hacer es multiplicar a ambos lados de la ecuacion por un numero de manera que se vaya el 5, con un poco de tanteo me doy cuenta que \(5\times 5\equiv 1 (8)\) entonces \(5\times 5 X\equiv 5\times 4 (8)\) y por lo tanto \(X\equiv 20\equiv 4 (8)\)

Sisi, tenes razon, me falto esa parte, ya de tanto estudiar me olvido de cosas 😛...Muchas Graciaas!!!!🙂

Te piden las soluciones módulo \(16\), así que las soluciones serían
\(X\equiv4(16)\) y
\(X\equiv12(16)\)

No me quedo claro el \(X\equiv12(16)\) de donde lo obtenes?

Si algo es igual a 4 módulo 8, cada vez que tomas 8 "lugares", empezando del 1, ese "algo" va a quedar en el cuarto, así:
|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|
Ahora, eso es tomando secciones de a 8. Si partimos la misma recta en lugares de a 16 (osea sacamos 1 de cada 2 barras de division, haciendo las particiones el doble de grandes), queda algo así:
|--------------|--------------|--------------|--------------|----------*----|

Vemos que las * caen siempre en el 4 (que ya teníamos), y el 12, cada vez que lo partimos en 16 "lugares". Queda medio feo acá porque hay que usar - y *, pero tiene sentido si lo pensás como particiones de los naturales en sets contiguous de ancho 8, y 16, que empiezan en el 1.

Bueno, esto es la explicación gráfica, la parte matemática sería hacer una tabla de restos de tamaño 16, y fijarse que todos los enteros que son 4 módulo 8, son o 4 o 12 módulo 16.