[?] Segundo Parcial- 03/07/09. Ej 1. T 2

-Sea \((x,y)\in({\mathbb{Z}}\times{}\mathbb{Z})\) una solución de la ecuación \(287x+707y=14\).
Hallar los posibles restos de dividir \(x+y\) por 90. Para cada uno de los restos hallados exhibir una solución tal que obtenga dicho resto

\(287x+707y=14\)

Como \((287:707)=7 y 7\mid14\Rightarrow{\exists{(x,y):287x+707y=14}\)

y como \((41:101)=1\)
y \(1\mid2\Rightarrow{\exists{(x,y):41x+101y=2}\)

Luego, \((-64, 26)\) es solución particular, y todas las soluciones serán \((-101 k-64, 41k+26)\)con \(k \in{\mathbb{N}}\) Ahora, \(x+y=-101k-64+41k+26=-60k-38\) A partir de ahí me perdí 🙁

Editado 1 vez.

fijate que tenes un error de signos en el ultimo renglon y que en las soluciones que vos mencionas el 8 no funca, las otras tres creo que estan bien.
llegaste a que \(x+y=101k-64+41k+26=60k-38\)con \(k \in{\mathbb{N}}\)
ahora lo que tenes que hacer para mirar el resto modulo 90 es mirar el resto de dividir x+y modulo \(2\), \(5\), \({3}^{2}\) separadamente y luego aplicar teorema chino del resto.
el resto modulo 2 es 0 y el resto modulo 5 es 2, asique lo unico que tenes que hacer es mirar los resto modulo 9 los cuales va a depender de los posibles restos de k modulo 3 ya que el 60 te aporta un 3
entonces

si \(k\equiv 0 (3) \Rightarrow 60k \equiv 0 (9) \Rightarrow 60.k-38\equiv 0+7\equiv 7(9)\)

si \(k\equiv 1 (3) \Rightarrow 60k \equiv 6 (9) \Rightarrow 60.k-38\equiv 6+7\equiv 4(9)\)

si \(k\equiv 2 (3) \Rightarrow 60k \equiv 3 (9) \Rightarrow 60.k-38\equiv 3+7\equiv 1(9)\)

ahora solo tenes que hacer TCR eso te lo dejo.

si hay algo mal avisen estoy medio oxidado con esto.
saludos

Yo lo veo de otra forma:

60k - 38 modulo 90

Analizo 60k modulo r (90). Dependiendo de k modulo resto 3, hay tresp osibilidades y tres restos posibles...

Los restos que me dan 22, 52 y 82.

Un saludo