12/7/2005

quería ver si me podrían ayudar con este ejercicio, estoy re trabada

sea \(a \in \mathbb{Z} \text{tal que } (a^5^5 -3 : 56) =28\)
Hallar el resto de la división de a por 56

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Para hallar el resto de dividir a "a" por 56 podés plantear congruencias módulo 8 y módulo 7 y usar teorema chino.
Sabés que \(28|a^{55}-3 \Longrightarrow 7|a^{55}-3\ \ y \ \ 4|a^{55}-3\)
Para módulo 7 usas Fermat: \(a^{55}\equiv 3 (7)\).
\(Como (a:7)=1 \Longrightarrow a^6\equiv 1 (7)\). Como 55=6 9+1 entonces \(a\equiv 3 (7)\)

Para módulo 8 uso que \(a^{55}\equiv 3 (4)\) y además 8 no divide a \(a^{55}-3\)
Entonces a es impar y \(a^2\equiv 1 (4)\) y \(a^2\equiv 1 (8)\)
De lo primero \(a=4k+3\) y queres que \(a\neq 8j+3\)
entonces \(4k+3\equiv r (8)\) donde \(0\leq r \leq 7\)
De ahí sale r=3 (no puede ser) ó r=7

Por último te queda el sitema \(a\equiv 3 (7) \ \ \ y\ \ a\equiv 7 (8)\)

De ahí sale \(a\equiv 31 (56)\)

muchas gracias 🙂