Este la verdad me compliqué demasiado la vida y me rendí al final...medio bobo. Pero bueno. Decía algo así...
$$\textrm{Encontrar $a \in \mathbb{Z}$ tal que $(7^{17^{102}} - a : 352) = 176$}$$
Básicamente esto se reduce a probar que \(2^4 \mid 7^{17^{102}} - a, 2^5 \nmid 7^{17^102} - a, y\ 11 \mid 7^{17^102} - a\).
Ahora, como salir de ahí? Creo que mandé un poco de fruta del estilo \(7^{17^{102}} = 7^{17^{32\cdot 3 + 6}} = 7^{17^{3^{32}} \cdot 17^6} \overset{\underset{\mathrm{Fermat}}{}}{\equiv} 7^{17^9}\), y algo similar con el 11. Pero la verdad es fruta poco conducente. Como lo resolvieron ustedes?
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Habría que ver a que es congruente \(17^{102}\) en módulo 16 y 11. Lo que no se, es si es lo mismo ver el módulo de eso que ver el modulo de \(7^{17^{102}}=7^{1734}\)
Lo que tenías que hacer, para mi, era resolver simplemente esa escuación de congruencia, ponías todos los resultados menores a 1000 y despues veías si eran congruentes a \(0\) en módulo \(2^5\) y \(11^2\). Si uno de los dos los dividía el \(mcd \not = 2^411\)
Veo a que es congruente \(17^{102}\) en módulo \(11\)
Por el corolario de Fermat, como \((6:11)=1\) , \(6^{10}=1(11)\)
\(\Rightarrow 6^{102}=6^{10^{10}}6^2\equiv 36(11)\) y \(36\equiv 3 (11)\)
Con esto llegamos a que \(7^{17^{102}}(11)=7^3(11)}\), simplificamos bastante las cuentas y para algo tenemos la calcu \(\Rightarro 7^3\equiv 2(11)\)
Luego
$$7^{17^{102}}\equiv 2(11)$$
\(7^{17^{102}}\equiv 7 (16)\) Este sale fácil
Planteamos que
Como \((11:16)=1\), por el Teorema Chino del Resto se que existe una única solución que esta en \(0\leq x<176\)
Luego
$$a=16q+7$$
$$16q+7\equiv 2 (11)$$
$$5q\equiv -5(11)$$
\(q\equiv 10 (11)\Rightarrow q=11k+10\) Reemplazo \(q\) en \(a\)
$$a=16(11k+10)+7=176k+167$$
Mi conjunto de Soluciones es \(S:\lbrace 176k+167\rbrace k \in \mathbb{Z}\)
Como me piden las menores a \(1000 \Rightarrow S:\lbrace 167,340,519,695,871\rbrace\)
Peeeeeeeeeeeeero
No, esta mal eso que decis...
No es lo mismo \(7^{17^{102}}=7^{(17^{102})}\) que \((7^{17})^{102}=7^{17\times 102}\),
La forma correcta de hacerlo es:
Llamemos \(a=17^{102}\).
Queremos calcular \(7^a\) modulo 32 (o 16) y 11.
Si escribimos \(a=10q+r\) entonces \(7^a \equiv 7^r(11)\) por fermat, ahora para calcular a modulo 10 (o sea r) tenemos que usar fermat de vuelta y el teo chino del resto (o hacerlo con tabla).
El caso de la potencia de 2 es analogo.
A mi me quedo la duda de como se hacen las cuentas den el caso de las potencias de 2; yo lo hice como dijo Quimey pero a la hora de usar fermat para el caso de 16 o de 32 no sabia como hacer, a diferencia de el del 11.
Yo para 7^a = 7^r (16) (congruencia), usé el teorema de euler, phi(16) = 8, por lo que 7^8 = 1 (16). Así, como ya dijeron digo que a = 8q + r, saco la congrecuencia entre a y 8, eso es el resto y listo.