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Tema

[No Resuelto] 11/08/09 Ej. 2 creo - 2do R

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#1 inesi

este ejercicio me quemó la cabeza durante todo el parcial... si alguien me puede decir cómo se resuelve se lo agradezco muchísimo!!

Hallar todos los \((x,y)\in\mathbb{Z}x\mathbb{Z}\)
de manera tal que:

$$124x+52y=12$$
$$x \equiv y \ (27)$$
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"if people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicate life is"

#2 lautiloco

Yo hice lo siguiente:
(124:52)=4 y 4|12 -> tiene soluccion, es una diofantica.

Divido todo por 4 y queda \(31x+13y=3\) una soluccion particular seria x=-2, y=5
Entonces todas las solucciones son de la forma \(x=-2+13k, y=5-31k\)
Ahora, remplazo en la congruencia los valores q me da la diofantica.

$$-2+13k \equiv 5-31k (27)$$
$$44k \equiv 7(27)$$
\(k \equiv 2 (27)\) creo q daba eso, no hice la cuenta devuelta

Escribis k=27p+2 y te queda

$$x=-2+13(27p+2), y=5-31(27p+2)$$
Esas son las posibles solucciones que yo encontré

Alguien mas lo hizo asi??

Salu2

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Pedaleo, luego existo.

#3 Floreal Ruíz

La única diferencia que veo con la respuesta de arriba es la solución particular despues el procedimiento es el mismo.
\(124x+52y=12\)

$$31x+13y=3$$
Encontras una solución particular, yo la encontré, escribiendolos mediante combinación lineal. \(31(5)+13(-12)=1\) Multiplicas por 3
$$31(15)+13(-36)=3$$
Haces como siempre con diofánticas y te queda que las soluciones son \(S:\{-13k-15,31k+36\}\) K entero Entonces planteas la congruencia:
$$-13k-15\equiv31k+36(27)$$
$$-44k\equiv51(27)$$
$$10k\equiv24(27)$$
Podes hacer una tabla y vas a ver que cada vez que el resto es un multiplo de 3, en módulo 27 es congruente a ese multiplo de 3, ej \(q=6\Rightarrow60\equiv6(27)\) Como no sabía justificar eso, hice toda la tabla y como sospeché \(k\equiv24(27)\)
$$K=27q+24$$
$$S:\{-13(27q+24)-15,31(27q+24)+36\}$$
\(S:\{-351q-327,837q+780\}\)

Ahora que veo bien, de hecho es igual ya que para que mis resultados te den los resultados de lautiloco tenes que tomar \(q=-p\)
\(q\) en mi ejercico
\(p\:\,\)en el de lauti

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Hoy esta muerto y con él, cuanta memoria se apaga...

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#4 inesi

yo hice lo mismo pero tome como solución particular

(x,y)=(-15,36)

entonces todas las soluciones son:

$$x=13q-15$$
$$y=-31q+36$$

después lo meti en la congruencia:

$$-15+13q \equiv 36-31q (27)$$
$$44q \equiv 51(27)$$
como 8 es coprimo con 27 multiplique por 8
$$8.44q \equiv 8.51(27)$$

y ahora \(8.44 \equiv 1(27)\)

$$8.51 \equiv 3(27)$$

me queda finalmente \(q \equiv 3(27)\)

las cuestión es que ese q si me cumple la diofántica pero no la congruencia...
seguramente tengo un error de cuentas pero no lo pude encontrar...

me parece que el de floreal ruiz está bien!

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#5 Floreal Ruíz

btw, copiaron los de complejos? porque yo los copie para postearlos, porque no me salió ninguno y no se que hice los borradores, tengo miedo de haberlos entregado con el parcial 😮

Inesi, estas borracha?
Según calculé te quedó esto:

$$q=27k+3$$
$$13(27k+3)-15,-31(27k+3)+36$$
$$S:\{351k+24,-837k-57\}$$
Que está perfecto

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#6 lautiloco

Mmm, uno decia algo asi como

$$z^3(1+i)^6=-\overline{z}^5$$
Hallar los z en \(\mathbb{C}\) q cumplen esa cosa

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#7 inesi

acá subo el ej.3

\(z^3(1+i)^6={(\overline{-z})}^5\) no recuerdo si el - va dentro del z conjugado o fuera... si alguien sabe corrijalo...

$$0\le Re(z)$$