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Tema

Parcial 14/12/04

3 respuestas 6163 visitas
#1 LaRy

buenas... volvi... 🙄
y tengo problemitas con el sig ejercicio:

$$\textrm{ Hallar la forma binomica de todos los numeros complejos z tales que:}$$

\(arg\ {z}^{3}\) = \(\frac{\pi}{2}\)

y \(\vert {z}^{3}\vert\) - \(10 \vert {z}\vert\) = \({3} . \vert{z}^{2}\vert - 24\)

el kilombo se me hace con la segunda ecuacion. La del arg no tengo problema...

#2 hookdump

Tomando como base: [resuelto]ejercicio4,final(20/02/04)

Queremos hallar la forma binomica de todos los \(z\in\mathbb{C}\) que verifican simultáneamente las condiciones:

$${|z|}^{3}-10{|z|}\eq=3{|z|}^{2}-24$$
$$\arg({z}^{3})\eq=\frac{\pi}{2}$$
Voy a trabajar con la segunda condición. Notemos que en realidad tenemos que estudiar las raíces del polinomio \(f\eq={X}^{3}-3{X}^{2}-10{X}+24\), en particular, las raíces reales, y positivas.

Ahora mágicamente (gauss!?) hallamos las raices de ese polinomio, q casualmente son las tres reales: \(2, -3, 4\)
Pero recordemos que nuestra incógnita era un módulo, asique descartamos la raiz negativa.
Entonces tenemos que
\(|z|\eq=2\) o \(|z|\eq=4\)

Por otro lado, de la segunda condición extraemos:

$$\arg({z}^{3})\eq=\frac{\pi}{2}$$
$$3\arg(z)\eq=\frac{\pi}{2}+2\pi k$$
$$\arg(z)\eq=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi k}{3},\;0\leq k\leq 2$$
Concluímos que los números complejos buscados son:
$$z\eq=2(\cos(\frac{\pi}{2})+i\sin(\frac{\pi}{2}))$$
$$z\eq=2(\cos(\frac{7\pi}{6})+i\sin(\frac{7\pi}{6}))$$
$$z\eq=2(\cos(\frac{11\pi}{6})+i\sin(\frac{11\pi}{6}))$$
$$z\eq=4(\cos(\frac{\pi}{2})+i\sin(\frac{\pi}{2}))$$
$$z\eq=4(\cos(\frac{7\pi}{6})+i\sin(\frac{7\pi}{6}))$$
$$z\eq=4(\cos(\frac{11\pi}{6})+i\sin(\frac{11\pi}{6}))$$

Nomás falta hacer las cuentas para hallar sus respectivas formas binomicas... pero son solo eso... cuentas!

Firma
$$\displaystyle\lim_{dom \to lun} = paja$$

http://hookdump.com

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#3 exequiel131719

Sirven los dos módulos... fijaten que en cierto sentido son condiciones independientes... una relaciona el módulo del complejo, y la otra el argumento.

Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#4 hookdump

Jajaj sisi, primero tenía dudas sobre que pasaba con el modulo, y luego me avivé que podia darme dos modulos distintos, total estoy armandome distintos numeros complejos solución.
Cuando me avivé, listé las 6 posibles soluciones, pero me olvidé de borrar los comentarios como "¿que modulo sirve?" y demás! xD
Ahi lo edito! 🙂