Una modesta contribución; espero que ayude.
Hallar la forma binomial de todos los \(z\in\mathbb{C}\) que verifican simultáneamente las condiciones:
$${|z|}^{4}-2i{|z|}^{3}-3{|z|}^{2}+10i|z|-10\eq=0$$
$$\arg({z}^{3})\eq=\frac{3\pi}{2}$$
Voy a trabajar con la primera condición. Notemos que en realidad tenemos que estudiar las raíces del polinomio \(f\eq={X}^{4}-2i{X}^{3}-3{X}^{2}+10iX-10\), en particular, las raíces reales, y positivas. Luego, de tener alguna raíz real, vale el siguiente argumento; puesto que el polinomio tiene ''una parte real y una imaginaria'', podemos agrupar de manera adecuada:
$$f\eq={X}^{4}-3{X}^{2}-10-2i{X}^{3}+10iX\eq=({X}^{4}-3{X}^{2}-10)-2X({X}^{2}-5)i$$
Luego,de tener una solución real, esta satisface simultáneamente que:
$${x}^{4}-3{x}^{2}-10\eq=0$$
$$-2x({x}^{2}-5)\eq=0$$
De la segunda, rápidamente se extraen todos los posibles valores reales: \(x\eq=0,\;x\eq=\sqrt{5},\;\eq=-\sqrt{5}\).
Reemplazando en la otra condición, solo \(|x|\eq=\sqrt{5}\) la satisface. Concluímos que \(|z|\eq=\sqrt{5}\).
Por otro lado, de la segunda condición extraemos:
$$\arg({z}^{3})\eq=\frac{3\pi}{2}$$
$$3\arg(z)\eq=\frac{3\pi}{2}+2\pi k$$
$$\arg(z)\eq=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi k}{3},\;0\leq k\leq 2$$
Concluímos que los números complejos buscados son:
$$z\eq=\sqrt{5}(\cos(\frac{\pi}{2})+i\sin(\frac{\pi}{2}))\eq=0+\sqrt{5} i$$
$$z\eq=\sqrt{5}(\cos(\frac{7\pi}{6})+i\sin(\frac{7\pi}{6}))\eq=-\frac{\sqrt{15}}{2}+(-\frac{\sqrt{5}}{2})i$$
\(z\eq=\sqrt{5}(\cos(\frac{11\pi}{6})+i\sin(\frac{11\pi}{6}))\eq==\frac{\sqrt{15}}{2}+(-\frac{\sqrt{5}}{2})i\)
Espero haber ayudado, y no haber cometido error en las cuentas. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities