Sea \(z\) una raiz 18-esima primitica de 1. Caracterizar los \(n \in{N}\) tales que \(z^{4n} \in G_{12}\)
bueno los modulos de los z no interesan porque pertenecen a algun \(G_n\)asique son iguales a 1, entonces nos concentraremos en los argumentos.
si \(z \in G_{18}\) y es primitiva entonces su argumento es de la forma \(\frac{2k\pi}{18}\) con \((k:18)=1\) entonces el argumento de \(z^{4n}\) es de la forma \(\frac{2k\pi4n}{18}\) y como debe pertenecer a \(G_{12}\) tambien debe ser de la forma \(\frac{2j\pi}{12}\) con \(j \in {Z}\) entonces igualando los argumentos nos queda\(\frac{2k\pi4n}{18}=\frac{2j\pi}{12}\) con \(j \in {Z}\),simplificando todo los que se pueda y pasando los denominadores para sacarnoslo de encima nos queda \(8nk=3j\) podemos pedir que \(3/8nk\)
recordando que si \(a,b,c \in{Z}\) si \(a/bc\) con \((a:b)=1\) entonces \(a/c\)
como \((3:k)=1\) ya que \((k:18)=1\) entonces \(3/8n\) y tambien \((3:8)=1\) entoces \(3/n\)
diganme que opinan, si les parece que esta bien o me falta algo.