sea w raiz 20-ava primitiva. Demostrar que \(w + {w}^{3} + {w}^{7} + {w}^{9}\)
es un imaginario puro
Tema
[A Resolver]
Ahí va
Para ver que un número \(z\) es imaginario puro, basta ver que \(\overline z = -z\) (tarea para la casa). Uno conjuga y obtiene
\(\overline{w + w^3+ w^7 + w^9} = \overline w + \overline w^3 + \overline w^7 + \overline w^9\).
Ahora, \(\overline w^k = w^{20-k}\) (ejercicio 😛). Reemplazando, obtenemos
\(w^{19} + w^{17} + w^{13} + w^{11} = w^{10}(w + w^3+ w^7 + w^9)\). Ahora, como \(w\) es raíz vigésima, \(w^{10}\) es raíz de orden 2, y como \(w\) es primitiva, no puede ser \(w^{10} = 1\), así que \(w^{10} = -1\). Eso completa la demostración.
ESpero que aclare, saludos!
a que bien gracias!!!
ya lo habia resuelto pero el mio era un poquin mas largo, me llevo todo un dia 🙁 creia que era la forma mas corta
aca va:
$$w + w^3 + w^7 + w^9 = w + w^3 + w^7.w^3.{w}^{-3} + w^9.w.{w}^{-1}$$
esto vale porque \({w}^{20} = {({w}^{10})}^{2} = 1\) entonces
$${w}^{10} = -1$$
luego me queda: lo de arriba = \(w + w^3 -{w}^{-3} - {w}^{-1}\)
bien ahora tenemos \({w}^{20} = {(w^2)}^{10}\)
como w es primitiva 20-ava, \(w^2\) distinto de 1
bueno, tomo \(w^2 = v\), entonces me queda \({v}^{10} = (v^2)^5\)
bien, v^2 distindo de 1 por lo de siempre entonces me quedan las raices primitivas de G5
y me quedan la dif de w + w^3 y sus conjugados y chachan (imaginacion suya), la corto aca porque me sacaron int y estoy en un cyber y ya cierran