Hola soy nuevo en el foro, queria ver si me ayudaban con este ejercicio;
Caracterizar:
|Z|=1 y arg(z^3) = arg(-z)
Muchas gracias!
Tema
Parcial 2005 Ejercicio 2
Hola, ahí va lo que pensé, puede que esté mal:
vos sabés que:
\(|z|=1\);
arg\((z^3) =\)arg\((-z)\);
\(z=0\) no es solución.
llamamos: arg\((z)\) \(= \alpha\)
arg\((-z)\) = arg\((z.(-1))\)
por de moivre:
arg\((z.(-1)) = \alpha + \pi\)
arg\((z^3) = 3 \alpha\)
entonces:
$$3 \alpha = \alpha + \pi + 2k \pi$$
$$\alpha = \frac{\pi}{2} + k \pi$$
con \(k=0\), resulta: \(z_0 = cos(\frac{\pi}{2}) + i.sen(\frac{\pi}{2})\)
con \(k=1\), resulta: \(z_1 = cos(\frac{\pi}{2}+\pi) + i.sen(\frac{\pi}{2}+\pi) = cos(\frac{3\pi}{2}) + i.sen(\frac{3\pi}{2})\)
en forma binómica:
$$z_0 = i$$
\(z_1 = -i\)