Hola gente llegue hace unr ato de rendir y subo uno de los ejercicios a ver si esta bien lo que hice o si es un desastre atomico xD...
Ejercicio 2: ¿Cuantos numeros de 7 digitos hay que sean simultaneamente multiplos de 5 y 8?
Bueno, dentro de todo me parecio muy sencillo el ejercicio a menos que le haya errado muy feo....
La cosa es que lo que hice fue encontrar como terminan los ultimos 3 numeros para que cumpla la condicion. Los multiplos de 5 y 8 siempre deben terminar en:
En total si los contamos son 25 formas de terminar en los ultimos 3 numeros, por lo que es un numero de 7 cifras y ya tenemos cuantas posibilidades en los ultimos 3 digitos.
Bueno como piden que el numero sea de 7 digitos, entonces el primero NO puede ser 0, y los otros pueden ser cualquier numero, en total nos queda
Claro.
Ademas para que un número sea divisible por 8 es necesario que las tres últimas cifras sean divisibles por 8: o sea un número que termina en 40 no siempre es divisible por 8, ejemplo: 3247540 no es divisible por 8.
Y dentro de los casos que pusiste, la consigna decía que no podían repetirse los dígitos, o sea que no tendras los casos que terminan en: 000, 880, 800, 600, 440 y demás.
¿Cuántos números de 7 dígitos distintos son divisibles por 8 y 5?
Escribo mi número como \(n=(a_6\;a_5\;a_4\;a_3\;a_2\;a_1\;a_0)_{10}\), es decir, \(n=\sum_{i=0}^{6}{10^i a_i}\). Ademas \(8|n\) y \(5|n\), luego \(40|n\).
En particular \(10|n=10\cdot \sum_{i=0}^{5}{10^i a_{i+1}}+a_0 \Rightarrow 10|a_0 \Rightarrow a_0=0\). Ademas \(20|n=100\cdot \sum_{i=0}^{4}{10^i a_{i+2}}+10a_1 \Rightarrow 20|10a_1 \Rightarrow 2|a_1 \Rightarrow a_1=2k\).
Luego \(40|n=1000\cdot \sum_{i=0}^{3}{10^i a_{i+3}}+100a_2+20k \Rightarrow 40|100a_2+20k\) \(\Rightarrow 2|25a_2+k \Rightarrow 2|a_2+k\). Entonces \(a_2\) y \(k\) son ambos pares o ambos impares.
Si son ambos pares, \(a_2 \in \{2,4,6,8\}\) y \(a_1 \in \{4,8\}\), luego \((a_2\;a_1)_{10} \in \{24,28,48,64,68,84\}\), pues \(a_1 \neq a_2\). Son 6.
Si son ambos impares, \(a_2 \in \{1,3,5,7,9\}\) y \(a_1 \in \{2,6\}\), aqui siempre \(a_1 \neq a_2\); hay \(5\cdot 2=10\) posibilidades. En total, 16.
De los 10 dígitos que posee nuestro sistema decimal, hemos usado 3, por lo que quedan 7 para \(a_6\), 6 para \(a_5\), 5 para \(a_4\) y 4 para \(a_3\).
En total hay \(7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 16=13440\) números de 7 dígitos distintos que son divisibles por 8 y 5.