¿De cuántas maneras se pueden ubicar 26 bolitas rojas (iguales) y 22 bolitas negras (iguales) en 8 cajas numeradas con las condiciones simultáneas de que cada caja contenga por lo menos 2 bolitas rojas y a lo sumo 20 bolitas negras?
Tenemos 26 bR, 22 bN y 8 C. La primera condición nos dice que cada caja contenga 2 bolitas rojas. Como las bolitas rojas son indistinguibles, es lo mismo cuál ponemos en cada caja. Como hay 8 cadas, agarramos 16 bolitas y las ponemos, 2 en cada una.
Ahora tenemos 16 bR, 22 bN y 8 C. La próxima condicion nos dice que como mucho, tiene que haber 20 bolitas negras en una caja. Es decir, que no puede haber ni 21 ni 22 bolitas negras en la misma caja.
Para esto vamos a calcular el total de las combinaciones y restarle los casos que no nos sirven (los de 21 y 22 bN en la misma C).
El total de casos es
$$8^{10} * 8^{22}$$
(Para cada una de las bolitas, elegimos una entre las 8 cajas)
Ahora hay que restar los casos que no nos interesan. Estos casos son cuando:
A) Hay 22 bolitas negras en la misma caja
B) Hay 21 bolitas negras en la misma caja, y otra bolita negra en otra caja
A) La cantidad de combinacines para que suceda esto son
$$8^{10} * 8$$
Primero metemos las 10 bR restantes en las cajas, y luego elegimos una de las 8 cajas para meter las 22 bN que hay.
B) La cantidad de combinaciones para que sucedan esto son:
$$8^{10} * 8 * 7$$
Primero, de vuelta, elegimos una caja para cada una de las 10 bR que tenemos. Luego, elejimos una de las 8 cajas para meter las 21 bN y luego, elegimos una de las otras siete C para meter la bN que queda.
En total, hay \(8^{10} * 8 + 8^{10} * 8 * 7\) casos que no queremos.
En conclusión, la solución y cantidad de combinaciones posibles en total es:
\(8^{10} * 8^{22} - 8^{10} * 8 - 8^{10} * 8 * 7\)
Si alguien puede verificar que esté todo el razonamiento bien sería buenisimo 😛
Firma
Cristianrock dijo:
Por el Teorema del boludo, que asegura que si hay 2 boludos en un mismo final es el mismo boludo
Tenes un error grave, si tenes n bolitas iguales y m cajas la cantidad de formas de distribuir las bolitas es algo asi como:
\(\binom{n+m-1}{n}\) y no \(m^n\).
Tenemos 26 bR, 22 bN y 8 C. La primera condición nos dice que cada caja contenga 2 bolitas rojas. Como las bolitas rojas son indistinguibles, es lo mismo cuál ponemos en cada caja. Como hay 8 cadas, agarramos 16 bolitas y las ponemos, 2 en cada una.
Ahora tenemos 16 bR, 22 bN y 8 C. La próxima condicion nos dice que como mucho, tiene que haber 20 bolitas negras en una caja. Es decir, que no puede haber ni 21 ni 22 bolitas negras en la misma caja.
Para esto vamos a calcular el total de las combinaciones y restarle los casos que no nos sirven (los de 21 y 22 bN en la misma C).
El total de casos es
$$\binom{17}{10} \binom{29}{22}$$
(Para cada una de las bolitas, elegimos una entre las 8 cajas)
Ahora hay que restar los casos que no nos interesan. Estos casos son cuando:
A) Hay 22 bolitas negras en la misma caja
B) Hay 21 bolitas negras en la misma caja, y otra bolita negra en otra caja
A) La cantidad de combinacines para que suceda esto son
$$\binom{17}{10} * 8$$
Primero metemos las 10 bR restantes en las cajas, y luego elegimos una de las 8 cajas para meter las 22 bN que hay.
B) La cantidad de combinaciones para que sucedan esto son:
$$\binom{17}{10} * 8 * 7$$
Primero, de vuelta, elegimos una caja para cada una de las 10 bR que tenemos. Luego, elejimos una de las 8 cajas para meter las 21 bN y luego, elegimos una de las otras siete C para meter la bN que queda.
En total, hay \(\binom{17}{10} * 8 + \binom{17}{10} * 8 * 7\) casos que no queremos.
En conclusión, la solución y cantidad de combinaciones posibles en total es: