¿Cuántos números de 8 dígitos distintos son divisibles por 8 y 5?
Escribo mi número como \(n=(a_7\;a_6\;a_5\;a_4\;a_3\;a_2\;a_1\;a_0)_{10}\), es decir, \(n=\sum_{i=0}^{7}{10^i a_i}\). Ademas \(8|n\) y \(5|n\), luego \(40|n\).
En particular \(10|n=10\cdot \sum_{i=0}^{6}{10^i a_{i+1}}+a_0 \Rightarrow 10|a_0 \Rightarrow a_0=0\). Ademas \(20|n=100\cdot \sum_{i=0}^{5}{10^i a_{i+2}}+10a_1 \Rightarrow 20|10a_1 \Rightarrow 2|a_1 \Rightarrow a_1=2k\).
Luego \(40|n=1000\cdot \sum_{i=0}^{4}{10^i a_{i+3}}+100a_2+20k \Rightarrow 40|100a_2+20k\) \(\Rightarrow 2|25a_2+k \Rightarrow 2|a_2+k\). Entonces \(a_2\) y \(k\) son ambos pares o ambos impares.
Si son ambos pares, \(a_2 \in \{2,4,6,8\}\) y \(a_1 \in \{4,8\}\), luego \((a_2\;a_1)_{10} \in \{24,28,48,64,68,84\}\), pues \(a_1 \neq a_2\). Son 6.
Si son ambos impares, \(a_2 \in \{1,3,5,7,9\}\) y \(a_1 \in \{2,6\}\), aqui siempre \(a_1 \neq a_2\); hay \(5\cdot 2=10\) posibilidades. En total, 16.
De los 10 dígitos que posee nuestro sistema decimal, hemos usado 3, por lo que quedan 7 para \(a_7\), 6 para \(a_6\), 5 para \(a_5\), 4 para \(a_4\) y 3 para \(a_3\).
En total hay \(7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 16=8!\) números de 8 dígitos distintos que son divisibles por 8 y 5.
Otra forma de hacerlo, mas cuentosa.
Quiero números de 8 cifras distintas, (no pueden enpezar con 0) multiplos de 8 y 5.
Entonces mis cifras a usar son 10, o sea: \(0123456789\)
Recordemos los criterios de divisibilidad del 5 y del 8:
Un número es divisible (o multiplo de) por 5, si termina en 0 o 5; ejemplo: 12345, 1000005, 60000
Un número es divisible (o multiplo de) por 8, si sus tres ultimas cifras forman un multiplo de 8; ejemplo: 123104, 7689144, 7990256
Ahora armemos casos, basandonos en los multiplos de 5: Caso 1: Números que terminan en 0 y son multiplos de 8.
Caso 2: Números que terminan en 5 y son multiplos de 8.
Como se ve de antemano, el segundo caso no nos aporta nada pues no existen números multiplos de 8 que terminen en 5. Entonces nos quedamos solo con el Caso 1.
Caso 1: Números que terminan en 0 y son multiplos de 8.
Tenemos 8 lugares que llenar, de los cuales el último le corresponde al 0. O sea tenemos lo siguiente:
_ _ _ _ _ _ 0
Como queremos que además sea múltiplo de 8, los dos ultimos lugares antes que el 0 no pueden ser cualquier cosa. O sea debemos buscar X e Y distintos, y distintos de 0 (porque nos piden de distintas cifras), para que sea multiplo de 8 también.
O sea tenemos:
_ _ _ _ _ X Y 0
Pero quienes pueden ser X e Y? Bueno solo basta buscar qué numero de tres cifras (XY0) debo armar para que mi número de 8 cifras distintas resulte multiplo de 8.
Calculemos algunos multiplos de 8 de tres cifras, tenemos: 104, 112, 120, 128, 136, 144,152,160, 168,176,184,192, 200, 208, 216,224,232,240, 248, 256, 264, 272, 280, ....
Recordemos que los que me sirven son sólo aquellos que terminan en 0, o sea los subrrayados. Si miramos un poquito la serie que escribi, vemos que un multiplo de tres cifras de 8 que termine en 0 lo consigo cada 40. O sea, desde el 000 hasta el 999 los multiplos de 8 que terminen en 0 seran: 000 - 040 - 080 - 120 - 160 - 200 -** 240 - 280 - 320 - 360** - 400 - 440 -** 480 - 520 - 560 - 600 - 640 - 680 - 720 - 760** - 800 -** 840** - 880 - 920 - 960
Como no puedo repetir cifras (o sea X debe ser distinto de Y, y ambos no pueden ser 0), solo me sirven los que estan en negrita.
Por lo tanto tengo 16 casos diferentes. Pero en cada caso tengo la opcion:
_ _ _ _ _ X Y 0 (donde X e Y tienen un valor dependiendo del caso)
Como de 10 numeros que tengo, ya usé el 0, y otros dos para poner en X e Y, me quedan 7 distintos; entonces en cada uno de los 5 lugares que me quedan por llenar podre poner (independiente del caso que se trate de los 16 que tengo):
en el primer lugar podré poner 7 números distintos.
en el segundo lugar podré poner 6 números distintos.
en el tercer lugar podré poner 5 números distintos.
en el cuarto lugar podré poner 4 números distintos.
en el quinto lugar podré poner 3 números distintos.
O sea tengo, por cada caso, el producto: \(7.6.5.4.3\)
Y como los 16 casos distintos que tengo, me dan el mismo producto, como resultado tendré: \(16.(7.6.5.4.3)=(2.8)(7.6.5.4.3)=2.3.4.5.6.7.8=8!=40320\)