El 1)
\(a)\;(r,s)\;\mathfrak{R}\;(x,y)\;si\;y\;solo\;si\;|r-x|=|s-y|.\)
$$\;(r,s)\;\mathfrak{R}\;(r,s)\;\forall (r,s) \in\mathbb{Z}\;\times\;\mathbb{Z}$$
$$\;(r,s)\;\mathfrak{R}\;(r,s)\;\;si\;y\;solo\;si\;|r-r|=|s-s|,\;lo\;cual\;da\;como$$
$$resultado:\;0=0.$$
$$Entonces\;\mathfrak{R}\;es\;reflexiva.$$
$$Si\;(r,s)\;\mathfrak{R}\;(x,y)\;y\;(x,y)\mathfrak{R}\;(a,b)\;entonces\;(r,s)\mathfrak{R}(a,b)$$
$$Pero,\;un\;modulo\;me\;hace\;desconfiar.\;Efectivamente:$$
$$Tomemos:(r,s)=(3,5);\;(x,y)=(0,2);\;y\;(a,b)=(1,1).$$
$$(3,5)\;\mathfrak{R}\;(0,2),\;si\;solo\;si\;|3-0|=|5-2|,\;lo\;cual\;resulta:\;|3|=|3|,\;o\;sea\;3=3.$$
$$(0,2)\;\mathfrak{R}\;(1,1),\;si\;solo\;si\;|0-1|=|2-1|,\;lo\;cual\;resulta:\;|-1|=|1|,\;o\;sea\;1=1.$$
$$(1,1)\;\mathfrak{R}\;(3,5)?,\;si\;solo\;si\;|1-3|=|1-5|,\;lo\;cual\;resulta:\;|2|=|4|,\;o\;sea\;2=4.\;Abs!$$
$$Entonces\;\mathfrak{R}\;no\;es\;transitiva.$$
$$Si\;(r,s)\;\mathfrak{R}\;(x,y)\;entonces\;(x,y)\mathfrak{R}(r,s)$$
$$Se\;que\;(r,s)\;\mathfrak{R}\;(x,y),\;o\;sea\;que:\;|r-x|=|s-y|,$$
$$quiero\;llegar\;a\;ver\;que\;(x,y)\;\mathfrak{R}\;(r,s),\;o\;sea\;que:\;|x-r|=|y-s|.$$
$$Veamos:$$
$$Usare\;que:\;|-1|=|1|=1,\;entonces\;a=1.a=|-1|.|a|=|(-1.a)|=|-a|=a$$
$$Entonces\;operamos,\;de\;la\;siguiente\;forma:$$
$$|r-x|=|s-y|$$
$$|-1|.|r-x|=|-1|.|s-y|$$
$$|(-1).(r-x)|=|(-1).(s-y)|$$
$$|-r+x|=|-s+y|$$
$$|x-r|=|y-s|,\;entonces\;(x,y)\mathfrak{R}(r,s)$$
$$Entonces\;\mathfrak{R}\;es\;simetrica.$$
$$b)\;(r,s)\;\mathfrak{R}\;(x,y)\;si\;y\;solo\;si\;|r-x|=|s-y|.$$
¿Cuántos pares \((r,s)\) con \(1\le{r,s}\le400\) satisfacen que \((90,90)\;\mathfrak{R}\;(r,s)\)?
Dicho de otra forma, me están pidiendo la cantidad de pares que estan relacionados con el par \((90,90)\).
$$Entonces\;busco,\;(r,s)\;con\;1\le{r}\le400\;y\;1\le{s}\le400,\;tal\;que\;(90,90)\;\mathfrak{R}\;(r,s)$$
$$o\;sea:\;|90-r|=|90-s|$$
$$Entonces\;hay\;cuatro\;casos:$$
$$1)\;90-r=90-s$$
$$2)90-r=-(90-s)=s-90$$
$$3)-90+r=90-s$$
$$4)-90+r=-(90-s)=s-90$$
Caso 1)
$$90-r=90-s$$
$$90-r-90=-s$$
$$-r=-s$$
$$r=s$$
$$Entonces\;los\;pares\;que\;cumplen\;seran\;del\;tipo\;(r,s)\;con\;r=s,\;o\;sea,\;(llamo\;x=r=s),\;los\;pares\;(x,x);\;con\;1\le{x}\le400,\;(pues\;1\le{r,s}\le400).$$
$$Entonces\;tengo\;400\;pares\;posibles\;distintos.\;(tomando\;x\;desde\;1\;hasta\;400).$$
Caso 4)
$$-90+r=s-90$$
$$-90+r+90=s$$
$$r=s$$
$$Es\;igual\;al\;caso\;1),\;entonces\;no\;lo\;cuento\;pues\;sino\;repito\;los\;pares.$$
Caso 3)
$$-90+r=90-s$$
$$r=90+90-s$$
$$r=180-s,\;o\;s=180-r$$
$$pero\;1\le{s}\le400$$
$$-1\ge{-s}\ge-400$$
$$179\ge\underbrace{180-s}_{r}\ge-220$$
$$179\ge{r}\ge-220$$
$$pero\;puedo\;tomar\;solo\;1\le{r}\le400$$
$$entonces\;tomare\;los:\;1\le{r}\le179.$$
$$Si\;1\le{r}\le179$$
$$-1\ge{-r}\ge-179$$
$$179\ge\underbrace{180-r}_{s}\ge1$$
$$179\ge{s}\ge1,\;esta\;justo\;en\;el\;borde\;pues\;1\le{s}.$$
$$Entonces\;observo\;que\;tomando\;los\;1\le{r}\le179\;obtengo\;los\;1\le{s}\le179$$
$$de\;la\;forma:\;s=180-r$$
$$Entonces\;estoy\;teniendo\;179\;pares\;distintos\;que\;me\;cumplen\;la\;condicion.$$
$$Pero\;se\;repite\;alguno\;con\;el\;caso\;1)?$$
$$Veamos\;que\;si\;se\;repitiera\;seria\;de\;la\;forma:\;r=s$$
$$Entonces\;tendria:\;r=180-r,$$
$$2r=180$$
$$r=90$$
$$En\;el\;caso\;1),\;si\;r=90,\;entonces\;como\;r=s=90;\;entonces\;(r,s)=(90,90).$$
$$En\;el\;caso\;3),\;si\;r=90,\;entonces\;como\;s=180-r,\;tendria,\;s=90,\;entonces\;(r,s)=(90,90)$$
$$O\;sea\;que\;entre\;los\;dos\;casos\;analizados\;se\;repite\;un\;solo\;par.$$
Caso 2)
$$90-r=s-90$$
$$180-r=s$$
$$O\;sea\;que\;este\;caso\;arroja\;los\;mismos\;resultados\;que\;el\;caso\;3),\;por\;lo\;tanto\;no\;los\;cuento\;pues\;sino\;repito\;los\;pares.$$
Cantidad de pares relacionados con el par \((90,90)\).
\(TOTAL\;=\;\underbrace{400}_{caso\;1}\;+\;\underbrace{179}_{caso\;3}\;-\;\underbrace{1}_{repetidos}=578\)
El 2)
Usaremos inducción global.
Para ello aclarare dos cosas antes.
- Primero, la fórmula del enunciado se afirma sobre \(X_{n+2}\) y es valida \(\forall n\in\mathbb{N}\), o sea que, al hacer induccion con \(X_{n}\) tendré que tener cuidado pués esta deberá ser probada a partir de \(n\ge2\), o dicho de otro modo, debo probar los casos \(n=1\) y \(n=2\) a mano.
- Segundo, utilizaré la formula del enunciado, en vez de con \(X_{n+2}\) con \(X_{n+1}\), pues es la forma más facil de trabajar, y la que necesito. O sea usaré:
$$X_{n+1}=(3^{2^{n}}+3^{2^{n-1}}-1).Xn-(3^{2^{n}}+3^{2^{n-1}}).X{n-1},\forall n\ge2\in\mathbb{N}$$
Queremos probar que \(P(n)\;vale\;\forall n\in\mathbb{N}\)
Veamos:
$$P(n):\;X_n=3^{2^{n}}-5$$
$$1)\;P(1):\;3^{2^{1}}-5=3^2-5=9-5=4=4=x_1,\;entonces\;P(1)\;es\;verdadera.$$
$$\;P(2):\;3^{2^{2}}-5=3^4-5=81-5=76=76=x_2,\;entonces\;P(2)\;es\;verdadera.$$
$$2)\;Supongo\;verdadera\;P(k):\;X_k=3^{2^{k}}-5\;\forall k\in\mathbb{N},\;k\le{n},\;(esta\;es\;la\;HI),$$
$$\;entonces\;quiero\;ver\;si\;esto\;me\;implica\;que\;P(n+1)\;sea\;verdadera.$$
$$O\;sea\;quier\;ver\;que\;vale\;lo\;siguiente:$$
$$P(n+1):\;X_{n+1}=3^{2^{n+1}}-5\;\forall n\in\mathbb{N}$$
$$Si\;es\;asi,\;entonces\;P(n)\;es\;verdadera\;\forall n\in\mathbb{N}.$$
$$Veamos:$$
$$X_{n+1}=(3^{2^{n}}+3^{2^{n-1}}-1).X_{n}-(3^{2^{n}}+3^{2^{n-1}}).X_{n-1}$$
$$X_{n+1}=(3^{2^{n}}+3^{2^{n-1}}-1).(3^{2^{n}}-5)-(3^{2^{n}}+3^{2^{n-1}}).(3^{2^{n-1}}-5),$$
$$\;por\;HI\;para\;k=n-1\;y\;k=n.$$
$$\\$$
$$X_{n-1}=(3^{2^{n}}.3^{2^{n}}+3^{2^{n-1}}.3^{2^{n}}+3^{2^{n}}-5.3^{2^{n}}-5.3^{2^{n-1}}-5)$$
$$-(3^{2^{n}}.3^{2^{n-1}}+3^{2^{n-1}}.3^{2^{n-1}}-5.3^{2^{n}}-5.3^{2^{n-1}})$$
$$X_{n+1}=3^{2^{n}}.3^{2^{n}}+3^{2^{n}}-3^{2^{n-1}}.3^{2^{n-1}}-5$$
$$X_{n+1}=3^{2^{n}+2^{n}}+3^{2^{n}}-3^{2^{n-1}+2^{n-1}}-5$$
$$X_{n+1}=3^{2.2^{n}}+3^{2^{n}}-3^{2.2^{n-1}}-5$$
$$X_{n+1}=3^{2^{n+1}}+3^{2^{n}}-3^{2^{n-1+1}}-5$$
$$X_{n+1}=3^{2^{n+1}}+3^{2^{n}}-3^{2^{n}}-5$$
$$X_{n+1}=3^{2^{n+1}}-5,\;como\;queriamos\;probar.$$
$$Entonces\;P(n+1)\;es\;verdadera\;\forall n\in\mathbb{N}.$$
\(Por\;lo\;tanto\;P(n)\;es\;verdadera\;\forall n\in\mathbb{N}\)
El 3) no lo hice, despues lo pienso y tipeo. Si hay quiere hacerlo, y me ahorra el trabajo, bienvenido sea!
El 5)
Otra forma de hacerlo, mas cuentosa.
Quiero números de 8 cifras distintas, (no pueden enpezar con 0) multiplos de 8 y 5.
Entonces mis cifras a usar son 10, o sea: \(0123456789\)
Recordemos los criterios de divisibilidad del 5 y del 8:
- Un número es divisible (o multiplo de) por 5, si termina en 0 o 5; ejemplo: 12345, 1000005, 60000
- Un número es divisible (o multiplo de) por 8, si sus tres ultimas cifras forman un multiplo de 8; ejemplo: 123104, 7689144, 7990256
Ahora armemos casos, basandonos en los multiplos de 5:
Caso 1: Números que terminan en 0 y son multiplos de 8.
Caso 2: Números que terminan en 5 y son multiplos de 8.
Como se ve de antemano, el segundo caso no nos aporta nada pues no existen números multiplos de 8 que terminen en 5. Entonces nos quedamos solo con el Caso 1.
Caso 1: Números que terminan en 0 y son multiplos de 8.
Tenemos 8 lugares que llenar, de los cuales el último le corresponde al 0. O sea tenemos lo siguiente:
_ _ _ _ _ _ 0
Como queremos que además sea múltiplo de 8, los dos ultimos lugares antes que el 0 no pueden ser cualquier cosa. O sea debemos buscar X e Y distintos, y distintos de 0 (porque nos piden de distintas cifras), para que sea multiplo de 8 también.
O sea tenemos:
_ _ _ _ _ X Y 0
Pero quienes pueden ser X e Y? Bueno solo basta buscar qué numero de tres cifras (XY0) debo armar para que mi número de 8 cifras distintas resulte multiplo de 8.
Calculemos algunos multiplos de 8 de tres cifras, tenemos: 104, 112, 120, 128, 136, 144,152,160, 168,176,184,192, 200, 208, 216,224,232,240, 248, 256, 264, 272, 280, ....
Recordemos que los que me sirven son sólo aquellos que terminan en 0, o sea los subrrayados. Si miramos un poquito la serie que escribi, vemos que un multiplo de tres cifras de 8 que termine en 0 lo consigo cada 40. O sea, desde el 000 hasta el 999 los multiplos de 8 que terminen en 0 seran: 000 - 040 - 080 -120 - 160 - 200 -** 240 - 280 - 320 - 360** - 400 - 440 -** 480 - 520 - 560 - 600 - 640 - 680 - 720 - 760** - 800 -** 840** - 880 - 920 - 960
Como no puedo repetir cifras (o sea X debe ser distinto de Y, y ambos no pueden ser 0), solo me sirven los que estan en negrita.
Por lo tanto tengo 16 casos diferentes.
Pero en cada caso tengo la opcion:
_ _ _ _ _ X Y 0 (donde X e Y tienen un valor dependiendo del caso)
Como de 10 numeros que tengo, ya usé el 0, y otros dos para poner en X e Y, me quedan 7 distintos; entonces en cada uno de los 5 lugares que me quedan por llenar podre poner (independiente del caso que se trate de los 16 que tengo):
- en el primer lugar podré poner 7 números distintos.
- en el segundo lugar podré poner 6 números distintos.
- en el tercer lugar podré poner 5 números distintos.
- en el cuarto lugar podré poner 4 números distintos.
- en el quinto lugar podré poner 3 números distintos.
O sea tengo, por cada caso, el producto: \(7.6.5.4.3\)
Y como los 16 casos distintos que tengo, me dan el mismo producto, como resultado tendré: \(16.(7.6.5.4.3)=(2.8)(7.6.5.4.3)=2.3.4.5.6.7.8=8!=40320\)
OTRA RESOLUCION EN: [Resuelto] 1P 1C 2010. Ejercicio 5.
El 6)
No lo hice para el parcial, me tiro la idea un amigo despues. Asi que si hay algo mal, como dice Puddu, "griten!"
\(Siendo:\)
$$\;U=\{n \in\mathbb{N}:2\le\;n\le400\}\;$$
$$\;V=\{n \in\mathbb{N}:2\le\;n\le899\}$$
$$Quiero\;funciones\;inyectivas\;\;g:U\to\;V\;que\;satisfagan\;simultaneamente$$
$$*\;Para\;todo\;n,\;n\;y\;g(n)\;tienen\;la\;misma\;cantidad\;de\;digitos.$$
$$*\;n\;es\;impar,\;entonces\;g(n)\;es\;par.$$
Veamos como lo podemos pensar:
Para satisfacer la primer condicion analizare los casos en que \(n\) tiene 1, 2 o 3 digitos, por separado:
Caso tienen 1 digitos:
Tanto \(n\) como \(g(n)\) pueden tomar valores del conjunto \(\{n \in\mathbb{N}:2\le\;n\le9\}\;\), es decir 8 valores distintos de \(U\).
De ésos 8 valores, solo 4 son impares, y \(g(n)\) con ésos valores de \(n\) debe ser par. Sobre los valores de \(g(n)\) con \(n\) pares no hay ninguna restriccion, pero como la función debe ser inyectiva, y todos los valores pares estan usados para los \(g(n)\) con \(n\) impar, necesariamente, deben ser impares. Por lo tanto, solo resta permutar los \(n\) impares de modo que me de \(g(n)\) sea par, y vicerversa con los \(n\) pares. O sea se tienen: \(4!.4!\) posibilidades de armar funciones inyectivas.
Caso tienen 2 digitos:
Es similar al anterior, pero en lugar de tener 8, valores ahora puedo tomar valores del conjunto \(\{n \in\mathbb{N}:10\le\;n\le99\}\;\), es decir 90 valores distintos de \(U\); de los cuales tengo 45 impares y 45 pares.
Con el mismo razonamiento de antes se tienen \(45!.45!\) posibles funciones inyectivas.
Caso tienen 3 digitos:
Acá hay 301 posibles valores de \(n\), pues puedo tomar valores del conjunto \(\{n \in\mathbb{N}:100\le\;n\le400\}\;\) de \(U\); y 800 posibles valores para \(g(n)\), pues puedo tomar valores del conjunto \(\{n \in\mathbb{N}:100\le\;n\le899\}\;\) de \(V\).
Entonces hay, para \(n\), 151 \(n\) pares y 150 \(n\) impares.
Hay 400 posibilidades de \(g(n)\) par y 400 \(g(n)\) impares.
Por lo tanto elijo 150 impares entre los 400 posibles, y los permuto. Y elijo 151 numeros entre los 650 restantes (de los 800 posibles \(g(n)\)) y tambien los permuto.
Tengo esta cantidad de posibilidades de funciones inyectivas:
$$\displaystyle{400 \choose 150}.150!.\displaystyle{650 \choose 151}.151!$$
Es claro que los distintas combinaciones que pueden formarse con los tres casos dan lugar a funciones distintas. Por lo tanto el numero total de posibles funciones inyectivas así definidas es:
\(4!.4!.45!.45!.\displaystyle{400 \choose 150}.150!.\displaystyle{650 \choose 151}.151!\)
El 4)
Forma 1:
\(Voy\;a\;hacerlo\;en\;tres\;casos\)
$$Caso\;1):\;m=0$$
$$Caso\;2):{m} \in\mathbb{N}$$
$$Caso\;3):m<0,\;{m} \in\mathbb{Z}$$
$$CASO\;1):\;m=0$$
$$m=0\;entonces,\;{m^5 \over 10}+{m^2 \over 2}+{2m \over 5}=0,\;y\;0\in\mathbb{Z}$$
$$CASO\;2):{m} \in\mathbb{N}$$
$$Tengo\;que\;probar\;que\;{m^5 \over 10}+{m^2 \over 2}+{2m \over 5}\in\mathbb{Z},\;\forall {m} \in\mathbb{N}$$
$${m^5 \over 10}+{m^2 \over 2}+{2m \over 5}={{m^5+5m^2+4m} \over 10}\in\mathbb{Z},\;sii\;10|m^5+5m^2+4m$$
$$Probemoslo\;por\;induccion.$$
$$Sea\;P(n):\;10|n^5+5n^2+4n\;\forall {n} \in\mathbb{N}$$
$$1)\;P(1):\;10|1^5+5.1^2+4.1,\;sii\;10|10.\;Entonces\;P(1)\;es\;verdadera$$
$$2)Sea\;P(n):\;10|n^5+5n^2+4n\;\forall {n} \in\mathbb{N}\;(HI),$$
$$veamos\;que\;P(n)\;implica\;P(n+1)\;verdadera;\;o\;sea\;que\;vale:$$
$$P(n+1):\;10|(n+1)^5+5(n+1)^2+4(n+1)\;\forall {n} \in\mathbb{N}$$
$$Veamos:$$
$$*\;(n+1)=\displaystyle\sum_{j=0}^5 {5 \choose j}.n^j.1^{5-j}}=1+5n+10n^2+10n^3+5n^4+n^5$$
$$*\;(n+1)=n^2+2n+1$$
$$Entonces:\;$$
$$(n+1)^5+5(n+1)^2+4(n+1)=(1+5n+10n^2+10n^3+5n^4+n^5)+5(n^2+2n+1)+4n+4=n^5+5n^4+10n^3+15n^2+19n+10$$
$$(n+1)^5+5(n+1)^2+4(n+1)=\underbrace{(n^5+5n^2+4n)}_{divisible\;por\;10\;por\;(HI)}+\underbrace{10(n^3+n^2+n+1)}_{divisible\;por\;10}+\underbrace{5(k^4+k)}_{divisible\;por\;10\;por\;**}$$
$$**)\;(n^4+n)=es\; par\;siempre,\;ya\;que:\;$$
$$si\;n\;es\;par:\;n^2\;es\;par,\;y\;entonces\;n^4\;es\;par,\;y\;por\;lo\;tanto\;n^4+n\;es\;par$$
$$si\;n\;es\;impar:\;n^2\;es\;impar,\;y\;entonces\;n^4\;es\;impar,\;y\;por\;lo\;tanto\;n^4+n\;es\;par$$
$$Entonces,\;como\;n^4+n\;es\;par,\;n^4+n=2q\;(q\in\mathbb{Z})$$
$$entonces\;5(n^4+n)=5.2q=10q,\;o\;sea\;5(n^4+n)\;es\;divisible\;por\;10.\;$$
$$Por\;lo\;tanto,\;P(n+1):\;10|(n+1)^5+5(n+1)^2+4(n+1)\;es\;verdadera\;\forall {n} \in\mathbb{N}$$
$$Entonces,\;P(n)\;es\;verdadera\;\forall {n} \in\mathbb{N}$$
$$O,\;sea\;esta\;probado\;el\;caso\;2).$$
$$CASO\;3):\;m<0,\;{m} \in\mathbb{Z}$$
$$Quiero\;ver\;que\;10|m^5+5m^2+4m$$
$$Si\;m<0,\;entonces\;m=-n,\;con\;n\in\mathbb{N}$$
$$Entonces:\;m^5+5m^2+4m=-n^5+5n^2-4n$$
$$O\;sea\;que\;basta\;probar\;que:\;10|-n^5+5n^2-4n\;\forall {n} \in\mathbb{N},$$
$$o,\;lo\;que\;es\;lo\;mismo:\;que\;10|n^5-5n^2+4n\;\forall {n} \in\mathbb{N}$$
$$Veamoslo\;por\;induccion:$$
$$Sea\;P(n):\;10|n^5-5n^2+4n\;\forall {n} \in\mathbb{N}$$
$$1)\;P(1):\;10|1^5-5.1^2+4.1,\;sii\;10|0.\;Entonces\;P(1)\;es\;verdadera$$
$$2)Sea\;P(n):\;10|n^5-5n^2+4n\;\forall {n} \in\mathbb{N}\;(HI),$$
$$veamos\;que\;P(n)\;implica\;P(n+1)\;verdadera;\;o\;sea\;que\;vale:$$
$$P(n+1):\;10|(n+1)^5-5(n+1)^2+4(n+1)\;\forall {n} \in\mathbb{N}$$
$$Veamos:$$
$$(n+1)^5-5(n+1)^2+4(n+1)=(1+5n+10n^2+10n^3+5n^4+n^5)-5(n^2+2n+1)+4n+4=n^5+5n^4+10n^3+5n^2-n=n^5-5n^2+4n+10n^3+10n^2-10n+5n^4+5n$$
$$(n+1)^5+5(n+1)^2+4(n+1)=\underbrace{(n^5-5n^2+4n)}_{divisible\;por\;10\;por\;(HI)}+\underbrace{10(n^3+n^2-n)}_{divisible\;por\;10}+\underbrace{5(k^4+k)}_{divisible\;por\;10\;por\;lo\;mismo\;que\;antes}$$
$$Por\;lo\;tanto,\;P(n+1):\;10|(n+1)^5-5(n+1)^2+4(n+1)\;es\;verdadera\;\forall {n} \in\mathbb{N}$$
$$Entonces,\;P(n)\;es\;verdadera\;\forall {n} \in\mathbb{N}$$
$$O,\;sea\;esta\;probado\;el\;caso\;3).$$
\(En\;fin\;queda\;demostrado\;que\;{m^5 \over 10}+{m^2 \over 2}+{2m \over 5}\in\mathbb{Z},\;\forall {m} \in\mathbb{Z}\)
Forma 2:
\({m^5 \over 10}+{m^2 \over 2}+{2m \over 5}={{m^5+5m^2+4m} \over 10}\)
$$10|m^5+5m^2+4m,\;sii,\;m^5+5m^2+4m\equiv 0\;(10)$$
$$Y\;medio\;a\;lo\;bruto\;hacemos\;una\;tabla\;de\;restos\;modulo\;10.$$
$$Cabe\;aclarar\;que\;tambien\;se\;puede\;operar\;un\;poco\;con\;la\;expresion\;a\;fin\;de\;simplicar\;y\;hacer\;una\;tabla\;mas\;chica\;y/o\;menos\;cuentosa.$$
$$Tabla\;de\;restos\;modulo\;10:\;(adjuntada\;bajo)$$
$$Entonces\;m^5+5m^2+4m\equiv 0\;(10)\;\forall {m} \in\mathbb{Z}$$
OTRA RESOLUCION EN: [Resuelto] 1P 1C 2010. Ejercicio 4.