Probar que \(\frac{m^5}{10}+\frac{m^2}{2}+\frac{2m}{5}\) es entero para todo m entero.
Notemos que \(\frac{m^5}{10}+\frac{m^2}{2}+\frac{2m}{5} = \frac{m^5+5m^2+4m}{10} \in \mathbb{Z}\) \(\Leftrightarrow 10 \mid m^5+5m^2+4m\).
Si \(m \equiv 0\;(2)\), entonces \(m^5+5m^2+4m\equiv 0^5+5\cdot 0^2+0\equiv 0\;(2)\).
Si \(m \equiv 1\;(2)\), entonces \(m^5+5m^2+4m\equiv 1^5+5\cdot 1^2+0\equiv 0\;(2)\).
Haciendo una tabla de restos módulo 5 de \(m^5\) podemos ver que \(m^5 \equiv m\;(5)\).
Luego \(m^5+5m^2+4m\equiv m+5m^2+4m\equiv 5m+5m^2\equiv 0\;(5)\) (Pequeño Teorema de Fermat).
Finalmente \(2 \mid m^5+5m^2+4m\) y \(5 \mid m^5+5m^2+4m\), luego \(10 \mid m^5+5m^2+4m\) como queríamos probar.