Hallar todos los valores posibles de \(d=(9a^2+1:5a^2-1)\) y para cada valor encontrado, hallar un valor de a.
\(d\mid 9a^2+1\) y \(d\mid 5a^2-1 \Rightarrow d\mid 45a^2+5\) y \(d\mid 45a^2-9 \Rightarrow d\mid 14 \Rightarrow d \in \{1,2,7,14\}\).
Veamos que pasa con estas expresiones módulo 2:
Si \(a\equiv 0\;(2)\), entonces \(9a^2+1\equiv 9\cdot 0^2+1\equiv 1\;(2)\) y \(5a^2-1\equiv 5\cdot 0^2-1\equiv 1\;(2)\) \(\Rightarrow 2\nmid d\).
Si \(a\equiv 1\;(2)\), entonces \(9a^2+1\equiv 9\cdot 1^2+1\equiv 0\;(2)\) y \(5a^2-1\equiv 5\cdot 1^2-1\equiv 0\;(2)\) \(\Rightarrow 2\mid d\).
Veamos que pasa con estas expresiones módulo 7:
Si \(a\equiv 0\;(7)\), entonces \(9a^2+1\equiv 9\cdot 0^2+1\equiv 1\;(7)\) y \(5a^2-1\equiv 5\cdot 0^2-1\equiv 6\;(7)\) \(\Rightarrow 7\nmid d\).
Si \(a\equiv 1\;(7)\), entonces \(9a^2+1\equiv 9\cdot 1^2+1\equiv 3\;(7)\) y \(5a^2-1\equiv 5\cdot 1^2-1\equiv 4\;(7)\) \(\Rightarrow 7\nmid d\).
Si \(a\equiv 2\;(7)\), entonces \(9a^2+1\equiv 9\cdot 2^2+1\equiv 2\;(7)\) y \(5a^2-1\equiv 5\cdot 2^2-1\equiv 5\;(7)\) \(\Rightarrow 7\nmid d\).
Si \(a\equiv 3\;(7)\), entonces \(9a^2+1\equiv 9\cdot 3^2+1\equiv 5\;(7)\) y \(5a^2-1\equiv 5\cdot 3^2-1\equiv 3\;(7)\) \(\Rightarrow 7\nmid d\).
Si \(a\equiv 4\;(7)\), entonces \(9a^2+1\equiv 9\cdot 4^2+1\equiv 5\;(7)\) y \(5a^2-1\equiv 5\cdot 4^2-1\equiv 3\;(7)\) \(\Rightarrow 7\nmid d\).
Si \(a\equiv 5\;(7)\), entonces \(9a^2+1\equiv 9\cdot 5^2+1\equiv 2\;(7)\) y \(5a^2-1\equiv 5\cdot 5^2-1\equiv 5\;(7)\) \(\Rightarrow 7\nmid d\).
Si \(a\equiv 6\;(7)\), entonces \(9a^2+1\equiv 9\cdot 6^2+1\equiv 3\;(7)\) y \(5a^2-1\equiv 5\cdot 6^2-1\equiv 4\;(7)\) \(\Rightarrow 7\nmid d\).
Entonces basta tomar a impar para que d sea par, pero nunca d es múltiplo de 7.
Los valores posibles de d son 1 y 2, y basta tomar un a par y otro impar, respectivamente:
\(a=2 \Rightarrow (37:19) = 1\), \(a=1 \Rightarrow (10:4) = 2\).