^1.- Sea \(a\in{\mathbb{Z}}\) tal que \(275|a^{41}+13a+3\). Hallar \(r_{275}(a)\)
2.-Sean \(m=2p^n\) con \(p\in{\mathbb{N}}\) un primo impar y \(n\in{\mathbb{N}}\). Probar que si \(x^2\equiv1 (m)\Rightarrow{ x\equiv1(m)\vee x\equiv-1(m)}\)
3.- \(\omega\in{\mathbb{G}}_{35}\) primitiva. Hallar todos los n tales que \(\frac{1-i}{\sqrt[]{2}\omega^3 }\in{\mathbb{G}}_{n}\)
4.- Sea \(\omega\in{\mathbb{G}}_{10}\) primitiva y sea \(P(x)=(x-\omega)(x-\omega^3)(x-\omega^7)(x-\omega^9)\)
a.- Probar que \(P\in{Z}\)
b.- Probar que \(x^2-(\frac{1+\sqrt[]{5}}{2})x+1\) divide a \(P\in{R}[x]\)
a.-Como \(\omega\in{\mathbb{G}}_{10}^*\), entonces \(\omega^7=\bar{\omega^3}\) y \(\bar{\omega}=\omega^9\rightarrow{P=(x-\omega)(x-\omega^3)(x-\bar{\omega})(x-\bar{\omega^3})}\)
El 5)
Derivando \(P', P''(x)=3x^2+2(1+8i)x+(-21+6i)\) Usando la resolvente llegué a que \(-3i\) y \(-\frac{2}{3}-\frac{7i}{3}\) son raíces. Evaluando ambas, da que sólo \(-3i\) es raíz de \(P'\). Entonces si integramos \(P'\), queda \(P(x)=\frac{x^4}{4}+(1+8i)\frac{x^3}{3}+(-21+6i)\frac{x^2}{2}-(9+18i)x+c\) donde c es la constante de integración (punto clave).
Ya se que \(-3i\) es raíz de \(P'\) y de \(P''\), para que sea triple tiene que ser raíz de \(P\), entonces: \(P(x)=\frac{(-3i)^4}{4}+(1+8i)\frac{(-3i)^3}{3}+(-21+6i)\frac{(-3i)^2}{2}-(9+18i)(-3i)+c=0\) Y de ahí sale que \(c=\frac{45}{4}-9i\) Entonces \(P(x)=\frac{x^4}{4}+(1+8i)\frac{x^3}{3}+(-21+6i)\frac{x^2}{2}-(9+18i)x+\frac{45}{4}-9i\). Y la factorización es \((x+3i)^3(\frac{x}{4}+(\frac{1}{3}+\frac{5}{12}i))\)
Disculpame, con respecto a tu ultima raiz \(\frac{1}{3}+\frac{5i}{12}\), si haces que \(\frac{1+8i}{3}=-(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4) \textrm{ con } \alpha \textrm{ raiz, no me da.}\)
ragatsi, soy media mala con las cuentas, asique metí mi factorización en un programa que me expandió la expresión y llego al P que yo había fijado (con MI valor de c), asique no se, creo que esta bien lo que hice, pero más tarde reviso las cuentas por las dudas. Igual en cualqueir caso el punto es que hay que dividir el polinomio (con nuestro valor de c) por \((x+3i)^3\) ya que -3i es raíz triple. Y el resto tiene que dar 0 obviamente.
saludos
ragatsi, soy media mala con las cuentas, asique metí mi factorización en un programa que me expandió la expresión y llego al P que yo había fijado (con MI valor de c), asique no se, creo que esta bien lo que hice, pero más tarde reviso las cuentas por las dudas. Igual en cualqueir caso el punto es que hay que dividir el polinomio (con nuestro valor de c) por \((x+3i)^3\) ya que -3i es raíz triple. Y el resto tiene que dar 0 obviamente.
saludos
Si, es verdad yo tambien puse en una pagina tu factorizacion y da el polinomio correctamente. Hago un mea culpa
Osea ahora me doy cuenta que la posta es \(\frac{1+8i}{3}=(-(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4)).m \textrm{ Con m el numero que multiplica al x de mayor grado, en este caso: }\frac{1}{4}\)