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Recuperatorio 2° Parcial (20/12/08)

0 respuestas 3366 visitas 2009-12-27

#1 BiFo 2009-12-27 18:03

Buenas,

Ejercicio 3: Encontrar todos los \({z} \in \mathbb{C}\) tales que \(\overline{{z}^{2}} + {z} + 1 \eq 0\).

\(\overline{{z}^{2}} + {z} + 1 \eq 0\)

Sea \({z} = {a} + {b}.{i} \Rightarrow \overline{z} = {a} - {b}.{i} \Rightarrow \overline{{z}^{2}} = {\left( {a} - {b}.{i} \left)}^{2} \Rightarrow \overline{{z}^{2}} = {a}^{2} - {b}^{2} . {i}^{2} - 2 . {a} . {b} . {i} \Rightarrow \overline{{z}^{2}} = \left( {a}^{2} - {b}^{2} \left) + \left( -2 . {a} . {b} \left) . {i}\)

Reemplazamos en nuestra ecuacion original y obtenemos...

{a}^{2} + {b}^{2} - 2 . {a} . {b} . {i} + {a} + {b} . {i} + 1 = 0

\left( {a}^{2} - {b}^{2} + {a} \left) + \left( -2 . {a} . {b} \left) . {i} = -1 + 0 . {i}

Dos complejos son iguales cuando sus partes reales y sus partes imaginarias son iguales...

{a}^{2} - {b}^{2} + {a} = -1

$$-2 . {a} . {b} . {i} = 0$$

Ahora realizo el despeje apropiado en ambas ecuaciones para obtener los valores:

{Z}_{0} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt[2]{3}}{2} . {i}

{Z}_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[2]{3}}{2} . {i}

{Z}_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt[2]{3}}{2} . {i}

{Z}_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[2]{3}}{2} . {i}

Reemplazo los 4 resultados en la ecuacion original y obtengo que los resultados validos son \({Z}_{0}\) y \({Z}_{1}\)

Ejercicio 4: Sea \({n} \in \mathbb{N}\). Sabiendo que \(\frac{{\left( -2 + 2 . {i} \left)}^{9 . {n} + 2}}{\left( 1 - {i} \left)}\) es un numero real negativo, calcular el resto de dividir a \({n}\) por 8.

Hasta el momento plantee:
Sea \({Z} = -2 + 2 - {i}\), \({W} = 1 - {i}\) y \({K} \in \mathbb{R} No Negativo\)

\frac{{Z}^{9 . {n} + 2}}{W} = {K} \Rightarrow {Z}^{9 . {n} + 2} = {K} . {W}

Igualo Modulos y Argumentos...

\vert {Z}^{9 . {n} + 2} \vert = \vert {K} . {W} \vert \Rightarrow {\vert Z \vert}^{9 . {n} + 2} = \vert {K} \vert . \vert {W} \vert

Arg \left( {Z}^{9 . {n} + 2} \left) = Arg \left( {K} . {W} \left) + 2T\Pi \Rightarrow \left( 9 . {n} + 2 \left) . Arg \left( {Z} \left) = Arg \left( {K} \left) . Arg \left( {W} \left) + 2T\Pi

Hasta aca llegue!

Ejercicio 5: Sea \({f} = {X}^3 - 3 . {X}^2 + {X} - 1 \in \mathbb{Q} \left[{X}\left]\) y sean \({a}, {b}, {c}\) sus raices en \(\mathbb{C}\). Hallar un polinomio \({g} \in \mathbb{Q} \left[{X}\left]\) de grado 3 cuyas raices sean \(-{a}^{2}, -{b}^{2} y -{c}^{2}\) y tal que \({g}\left( {abc} \left) = 2\).

Tomo \({F} \left( {x} \left) = {{m}_{1}} . {x}^{3} + {{m}_{2}} . {x}^{2} + {{m}_{3}} . {x} + {m}_{4} \Rightarrow {m}_{1} = 1 , {m}_{2} = -3 , {m}_{3} = 1 , {m}_{4} = -1\)

{a} + {b} + {c} = - \frac{{m}_{2}}{{m}_{1}} = 3

{a} . {b} . {c} = \frac{{m}_{4}}{{m}_{1}} = -1

{ab} + {bc} + {ac} = - \frac{{m}_{3}}{{m}_{1}} = -1

Sea \({G} \left( {x} \left) = {n}_{1} . {x}^{3} + {n}_{2} . {x}^{2} + {n}_{3} . {x} + {n}_{4}\)
Vemos que:

{G} \left( {abc} \left) = {G} \left( {ab} + {bc} + {ac} \left) = {G} \left( -1 \left) = -{n}_{1} + {n}_{2} - {n}_{3} + {n}_{4}

Aqui quede clavado, alguna pista?

Saludos!